Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.2.4. Lagranža reizinātāju metode, kad ierobežojumi Augstāk: 1.2. Nosacītais ekstrēms Iepriekšējais: 1.2.2. Definīcijas

1.2.3. Mainīgo izslēgšanas metode

Mainīgo izslēgšanas metode faktiski jau tika lietota, risinot iepriekšējā apakšparagrāfā apskatītās problēmas. Metodes ideja ir izslēgt daļu no argumentiem, izmantojot ierobežojumus, un risināt minimuma problēmu bez ierobežojumiem. Iepriekšējā piemērā par virsmas laukuma minimumu mainīgais $L$ tika izslēgts no virsmas laukuma $S$ formulas un lielums $S$ kļuva par viena reāla argumenta funkciju.

Minimizējot vairāku argumentu funkciju $f(x)$, kur $x\in\mathbb{R}^{n}$, un

$$g_{i}(x)=0\;\;(i=1,2,\ldots,m;\;m<n),$$

mainīgo izslēgšanas metode, vispārīgi runājot, nozīmē, ka $m$ argumenti (teiksim, $x_1,x_2,\ldots,x_m$) tiek izteikti ar pārējiem mainīgajiem $x_{m+1},\ldots,x_{n}$:

$$x_{1}= \varphi_{1}(x_{m+1};\ldots;x_{n}),$$

$$\ldots$$

$$x_{m}= \varphi_{m}(x_{m+1};\ldots;x_{n}),$$

un pēc to ievietošanas funkcijas $f$ formulā iegūstam $(n - m)$ argumentu funkciju

$$f\bigl(\varphi_{1}(x_{m+1};\ldots;x_{n});\ldots;\varphi_{m}(x_{m+1}; \ldots;x_{n});x_{m+1};\ldots;x_{n}\bigr),$$

kurai meklējam brīvo minimumu.

Noteiktības labad visur runa ir par minimumu, bet viss teiktais attiecas arī uz maksimizēšanas problēmām.

1.8. piezīme. 

Netriviāls ir jautājums, kad daļu argumentu (teiksim, $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m})$ var izteikt ar pārējiem mainīgajiem $x_{m+1},\ldots,x_{n}$ kādā punkta $M_0$ apkārtnē. No matemātiskas analīzes kursa ir zināms [7, 208. lpp.], ka tas ir iespējams, ja visi $g_i$ un $\frac{\partial g_i}{\partial x_j}$ ir nepārtraukti un

$$\left\vert\begin{array}{ccc} {\frac{\partial g_1 }{\partial x_1 }... ...\cdots & {\frac{\partial g_m }{\partial x_m }} \ \end{array}\right\vert\not=0$$

punkta $M_0$ apkārtnē.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.2.4. Lagranža reizinātāju metode, kad ierobežojumi Augstāk: 1.2. Nosacītais ekstrēms Iepriekšējais: 1.2.2. Definīcijas