Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.2. Minimuma punkta meklēšanas metodes Augstāk: 2. SKAITLISKĀS METODES Iepriekšējais: 2. SKAITLISKĀS METODES

2.1. Unimodālas funkcijas jēdziens

Nepārtrauktas funkcijas jēdziens ir zināms no matemātiskās analīzes kursa. Nepārtrauktas funkcijas grafiks ir nepārtraukta līnija viena argumenta funkcijas gadījumā vai nepārtraukta virsma (hipervirsma) divu un vairāku argumentu funkcijas gadījumā. Pārtrauktas funkcijas grafikam var būt pārtraukumi vai lēcieni. Diskrētu funkciju var uzdot ar savu vērtību tabulu pie atsevišķām argumenta vērtībām.

Negludo (nediferencējamo) funkciju ekstrēmu punktu meklēšanas metodes var ilustrēt ar unimodālo funkciju piemēru. Par unimodālām sauc viena argumenta funkcijas, kurām definīcijas intervālā $(a;b)$ ir tikai viens ekstrēma punkts (noteiktības labad pieņemsim, ka tas ir minimums). Unimodālās funkcijas var būt arī pārtrauktas.

Apskatīsim unimodālo funkciju piemērus.

2.1. piemērs. 

Nepārtrauktu unimodālu funkciju piemēri:

$$f(x)= \;x^{2},\;\; x\in(-\infty,+\infty);$$

$$f(x)= \;\sin x,\;\; x \in(0,\pi);$$

$$f(x)= \;\vert x\vert,\;\;x\in(-\infty,+\infty).$$

Funkcija $f(x) = 1$ nav unimodāla nevienā intervālā, jo tai jebkurā intervālā ir vairāki ekstrēma punkti.

2.2. piemērs. 

Pārtraukto unimodālo funkciju piemēri:

$$f(x) = \left\{ {\begin{array}{ccl} \vert x\vert,&\text{ja}&x\ne 0, \\ -1,&\text{ja}&x=0; \\ \end{array}} \right.$$

$$f(x)=\vert E(x)\vert+\vert x\vert,$$

kur $E(x)$ ir lielākais veselais skaitlis, kas nepārsniedz $x$ (t.i., $E(x)$ ir reālā skaitļa $x$ veselā daļa, kuru apzīmē arī ar $[x]$).

No unimodālas funkcijas īpašībām izriet šāds

Apgalvojums.

Ja $f$ ir unimodāla funkcija un ja kādiem $x_{1}<x_{2}$ ir spēkā $f(x_{1})<f(x_{2})$, tad minimuma punkts $x_{min}$ apmierina nosacījumu $x_{min}<x_{2}$. Savukārt, ja kādiem $x_{1}<x_{2}$ ir spēkā $f(x_{1})>f(x_{2})$, tad minimuma punkts $x_{min}$ apmierina nosacījumu $x_{min}>x_{2}$.

Šis apgalvojums ir dažu minimuma punktu meklēšanas stratēģiju pamatā.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.2. Minimuma punkta meklēšanas metodes Augstāk: 2. SKAITLISKĀS METODES Iepriekšējais: 2. SKAITLISKĀS METODES