Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.2.2. Definīcijas Augstāk: 1.2. Nosacītais ekstrēms Iepriekšējais: 1.2. Nosacītais ekstrēms

1.2.1. Uzdevumi

1. problēma (joks). Meitenei patīk saņemt dāvanas no jaunekļa, kas dāvina viņai puķes, maksājot Ls $1$ par vienu pušķi, un šokolādi, kuras cena ir Ls $0,5$ par vienu tāfelīti. Nedēļas laikā jauneklis var atļauties iztērēt Ls $10$. Kāda dāvanu kombinācija ir visefektīvākā, ja efektivitāti izsaka funkcija

$$U=S^{\frac{1}{2}}\cdot F^{\frac{1}{2}},$$

kur $S$ - šokolādes tāfelīšu daudzums, $F$ - puķu pušķu daudzums.

Risinājums. Šokolādes pirkšanai vajadzīgi Ls $0,5S$, puķu pirkšanai Ls $F$. Kopā

$$0,5S + F = 10.$$ (1.2)

Līdz ar to problēma reducējas uz funkcijas $U$ maksimuma atrašanu pie ierobežojuma (1.2). Risināsim problēmu ar mainīgo izslēgšanas metodi. No vienādības (1.2) atrodam

$$F = 10 - 0,5 S$$

un iegūstam maksimuma problēmu viena argumenta funkcijai

$$U(S)=S^{\frac{1}{2}}(10 - 0,5S)^{\frac{1}{2}}.$$

Aprēķinot šīs funkcijas atvasinājumu un pielīdzinot to nullei, iegūstam vienādojumu, no kura izriet, ka $S = 10$, $F =10-0,5\cdot S=5$. Tātad jauneklis nedēļas laikā var nopirkt $5$ puķu pušķus un $10$ šokolādes plāksnītes.

Aplūkosim analoģisku problēmu ar nopietnāku saturu.

2. problēma. Firma iegulda ${\$}\;L$ personāla apmaksai un ${\$}\;K$ tehnisko līdzekļu pirkšanai. Saražotās produkcijas apjoms ir atkarīgs no ieguldītajiem līdzekļiem:

$$P = L^{\tfrac{2}{5}} \cdot K^{\tfrac{3}{5}}.$$

Kopējais līdzekļu apjoms ir ${\$}\;20000$. Cik daudz līdzekļu ir jāizlieto personāla apmaksai (un cik tehnisko līdzekļu iegādei), lai maksimizētu ražošanas apjomu?

Risinājums. Lietosim mainīgo izslēgšanas metodi. Tā kā

$$L + K = 20000,$$

tad

$$K=20000-L$$

un problēma reducējas uz funkcijas

$$P(L) = L^{\frac{2}{5}}(20000 - L)^{\frac{3}{5}}$$

maksimuma atrašanu. Aprēķinot atvasinājumu $P^{\prime}(L)$ un pielīdzinot to nullei, iegūstam vienādojumu

$$2\cdot 20000-5L=0,$$

no kura izriet, ka $L=8000$, $K=12000$. Tātad, lai maksimizētu ražošanu, personāla apmaksai ir jāpiešķir ${\$}\;8000$, bet tehnisko līdzekļu iegādei - ${\$}\;12000$.

1.3. zīm. 

3. problēma. Cilindriskas formas degvielas krātuves tilpums ir vienāds ar $V$. Kādiem $R$ (- cilindra rādiuss) un $L$ (- cilindra augstums) virsmas laukums $S$ (un līdz ar to arī materiāla patēriņš) būs minimāls (skat. 1.3. zīm.)?

Risinājums. Virsmas laukums

$$S = 2\pi R^2 + 2\pi R \cdot L.$$

Tātad problēma reducējas uz funkcijas

$$S = 2\pi R(R + L)$$

minimuma atrašanu, ja

$$\pi R^2 \cdot L = V.$$

Ievietojot $L=\frac{V}{\pi R^2}$ lieluma $S$ aprēķināšanas formulā, iegūstam brīvā ekstrēma problēmu (par brīvā ekstrēma problēmu sauc ekstrēmu problēmu bez ierobežojumiem) viena argumenta funkcijai

$$S(R) = 2\pi R^2 + \frac{2V}{R}.$$

Aprēķinot šīs funkcijas atvasinājumu un pielīdzinot to nullei, iegūstam vienādojumu

$$4\pi R-2VR^{-2}=0,$$

no kura atrodam, ka

$$R = \left( {\frac{V}{2\pi }} \right)^{\tfrac{1}{3}}.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.2.2. Definīcijas Augstāk: 1.2. Nosacītais ekstrēms Iepriekšējais: 1.2. Nosacītais ekstrēms