Matemātika DU TSC
Nākamais: 6. NEĪSTIE INTEGRĀĻI Augstāk: 5.6. Homogēnas plaknes figūras statisko momentu Iepriekšējais: 5.8. Vingrinājumi

5.9. Uzdevumi

1. Aprēķināt laukumu figūrai, kuru ierobežo šādas līknes:
   1. $y=-4x,\quad x=-3,\quad x=-1,\quad y=0$;
   2. $y=x^2,\quad y=9$;
   3. $y=\frac{1}{x},\quad x=-6,\quad x=-2,\quad y=0$;
   4. $y=-x^2-2x+3,\quad x=2,\quad x=0,\quad y=0$;
   5. $y=x^2+4x,\quad x-y+4=0$;
   6. cikloīdas $x=a(t-\sin t),\quad y=a(1-\cos t)$ viena arka un abscisu ass;
   7. astroīda $x=a\cos^3t,\quad y=a\sin^3t$;
   8. kardioīda $\rho=2a(1+\cos\varphi)$;
   9. trīslapu roze $\rho=a\sin 3\varphi$.
2. Aprēķināt šādu līkņu garumus:
   1. ķēdes līnijai $y=e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}$ starp punktiem $x=0$ un $x=2$;
   2. $y=\ln\sin x$ starp punktiem $x=-\frac{\pi}{3}$ un $x=\frac{\pi}{2}$;
   3. astroīdai $x=a\cos^3t,\quad y=a\sin^3t$;
   4. līknei $\rho=5\sin\varphi$.
3. Aprēķināt tilpumu ķermenim, kas rodas, rotējot ap abscisu asi līklīnijas trapecei, kuru ierobežo šādas līknes:
   1. $y=\frac{4}{x},\quad x=4,\quad x=12,\quad y=0$;
   2. $y=\frac{x}{2},\quad x=4,\quad x=6,\quad y=0$.
4. Aprēķināt masas centru astroīdas $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ lokam, kas atrodas 1. kvadrantā.
5. Aprēķināt masas centru ķēdes līnijas $y=a\ch\frac{x}{a}$ lokam starp punktiem $x=-a,\quad x=a$.
6. Aprēķināt masas centru homogēnam trijstūrim, kuru ierobežo taisnes $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1,\quad x=0,\quad y=0$.
7. Aprēķināt masas centru homogēnai figūrai, kuru ierobežo līknes
   $y=x^2,\quad y=\sqrt{x}$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 6. NEĪSTIE INTEGRĀĻI Augstāk: 5.6. Homogēnas plaknes figūras statisko momentu Iepriekšējais: 5.8. Vingrinājumi