3.3.2. Integrēšana ar mainīgā aizvietošanu

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.4. Integrāļi no pāra vai nepāra Augstāk: 3.3. Integrēšanas pamatmetodes noteiktajā integrālī Iepriekšējais: 3.3.1. Parciālās integrēšanas formula

3.3.2. Integrēšana ar mainīgā aizvietošanu

3.3. teorēma.

[Integrēšana ar mainīgā aizvietošanu noteiktajā integrālī]

Ja funkcija $\varphi(t)$ ir nepārtraukti diferencējama intervālā ar galapunktiem $\alpha$ , $\beta$ un attēlo šo intervālu par intervālu ar galapunktiem
$a=\varphi(\alpha)$ , $b=\varphi(\beta)$ , kurā ir definēta nepārtraukta funkcija , tad ir spēkā formula:

$\displaystyle \boxed{\int\limits_a^bf(x)dx= \int\limits_\alpha^\beta f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)dt\/.}$

3.3. piezīme.: Šajos integrāļos apakšējā integrēšanas robeža var būt arī lielāka par augšējo integrēšanas robežu.

$\blacktriangleright$ Apskata divas palīgfunkcijas

$\displaystyle \Phi(t)=\int\limits_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(t)}f(x)dx$ un $\displaystyle \quad \psi(t)=\int\limits_\alpha^tf\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)dt\/,$

kur

pieder intervālam ar galapunktiem $\alpha$ , $\beta$ .

Acīmredzami

$\displaystyle \Phi'(t)=\psi'(t)=f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\/,$

tāpēc

$\displaystyle \Phi(t)=\psi(t)+C$

jeb

$\displaystyle \int\limits_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(t)}f(x)dx= \int\limits_\alpha^tf\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)dt+C\/.$

Ievieto $t=\alpha$ un iegūst, ka . Tātad

$\displaystyle \int\limits_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(t)}f(x)dx= \int\limits_\alpha^tf\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)dt\/.$

Ievieto $t=\beta$ .

$\displaystyle \int\limits_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)dx= \int\limits_\alpha^\beta f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)dt\/.$

Tā kā $\varphi(\alpha)=a$ un $\varphi(\beta)=b$ , tad

$\displaystyle \int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_\alpha^\beta \bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)dt\/. \;\blacktriangleleft$

3.4. piezīme.: Izdarot mainīgā aizvietošanu noteiktajā integrālī un mainot integrēšanas robežas, nav jāatgriežas pie sākotnējā mainīgā.

3.3. piemērs.

Aprēķināt

$\displaystyle \int\limits_0^a\sqrt{a^2-x^2} dx\/.$

$\begin{multline*} \int\limits_0^a\sqrt{a^2-x^2} dx=\left\vert \begin{array}{c} ... ...\sin 2t\right)\bigg\vert _0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi a^2}{4}. \end{multline*}$

2002-11-06