Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.3.2. Integrēšana ar mainīgā aizvietošanu Augstāk: 3.3. Integrēšanas pamatmetodes noteiktajā integrālī Iepriekšējais: 3.3. Integrēšanas pamatmetodes noteiktajā integrālī

3.3.1. Parciālās integrēšanas formula

3.1. definīcija. 

Funkciju $f$ sauc par nepārtraukti diferencējamu intervālā $\mathfrak{I}$, ja tai eksistē šajā intervālā nepārtraukts atvasinājums.

3.2. teorēma. 

[Parciālā integrēšana noteiktajā integrālī]

Ja $u,v$ ir nepārtraukti diferencējamas funkcijas intervālā $[a;b]$, tad

$$\boxed{\int\limits_a^bu(x)v'(x)dx=u(x)v(x)\mid_a^b-\int\limits_a^bu'(x)v(x)dx}$$

jeb

$$\boxed{\int\limits_a^budv=uv\big\vert _a^b-\int\limits_a^bvdu\/.}$$

$\blacktriangleright$ Visi integrāļi eksistē, jo zemintegrāļu funkcijas ir nepārtrauktas.

Apskata

$$\int\limits_a^buv'dx+\int\limits_a^bu'vdx=\int\limits_a^b(uv'+u'v)dx\/.$$

Tā kā $uv'+u'v=(uv)'$, tad

$$\int\limits_a^buv'dx+\int\limits_a^bu'vdx=\int\limits_a^b(uv')dx=uv\left\vert _a^b\right.\/.$$

Tādējādi

$$\int\limits_a^buv'dx=uv\big\vert _a^b-\int\limits_a^bu'vdx\/.\;\blacktriangleleft$$

3.2. piemērs. 

Aprēķināt

$$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin xdx\/.$$

$$\begin{multline*} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin xdx=\left\vert \begin{arra... ...{\frac{\pi}{2}}\cos x dx=\sin x\big\vert _0^{\frac{\pi}{2}}=1. \end{multline*}$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.3.2. Integrēšana ar mainīgā aizvietošanu Augstāk: 3.3. Integrēšanas pamatmetodes noteiktajā integrālī Iepriekšējais: 3.3. Integrēšanas pamatmetodes noteiktajā integrālī