Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.2. Sakarība starp noteikto un nenoteikto Augstāk: 3. INTEGRĀLIS AR MAINĪGU AUGŠĒJO ROBEŽU Iepriekšējais: 3. INTEGRĀLIS AR MAINĪGU AUGŠĒJO ROBEŽU

3.1. Integrāļa ar mainīgu augšējo robežu īpašības

Ja ir intervālā integrējama funkcija, tad saskaņā ar noteiktā integrāļa 2. īpašību tā ir integrējama katrā no intervāliem ( $x\in[a;b]$ ), pie tam šāda integrāļa vērtība ir atkarīga no .

Tādējādi integrālis ar mainīgu augšējo robežu ir šīs augšējās robežas funkcija, t.i.,

$\displaystyle \boxed{\int\limits_a^xf(t)dt=\Phi(x),\quad x\in[a;b].}$

1. īpašība.: [Integrāļa ar mainīgu augšējo robežu nepārtrauktība]
Ja ir intervālā integrējama funkcija, tad $\Phi$ ir nepārtraukta šajā intervālā funkcija.

$\blacktriangleright$ Izvēlas patvaļīgu $x\in[a;b]$ un patvaļīgu $\Delta x$ , bet tādu, lai
$x+\Delta x\in[a;b]$ , un apskata

$\begin{multline*} \Delta\Phi(x)=\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)=\int\limits_a^{x+\Delta... ...x}f(t)dt-\int\limits_a^xf(t)dt=\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt. \end{multline*}$

$\displaystyle \bigl\vert\Delta\Phi(x)\bigr\vert=\left\vert\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt\right\vert\leq M\vert\Delta x\vert\/,$

kur $M=\sup\limits_{[a;b]}\vert f(x)\vert$ . (Tāda galīga vērtība eksistē, jo

ir ierobežota kā integrējama funkcija).

Jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds $\delta=\frac{\varepsilon}{M}>0$ , ka visiem $\Delta x$ , kuriem $\vert\Delta x\vert<\delta$ , izpildās nevienādība

$\displaystyle \vert\Delta\Phi(x)\vert<M\delta=M\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon\/.$

Tādējādi $\Phi$ ir nepārtraukta funkcija intervālā . $\blacktriangleleft$

Sekas.

Ja $\varphi$ ir nepārtraukta, bet ir integrējama intervālā funkcija, tad saskaņā ar teorēmu par saliktas funkcijas nepārtrauktību

$\displaystyle \psi(x)=\int\limits_a^{\varphi(x)}f(t)dt$

nepārtraukta šajā intervālā funkcija.

(Pierādīt patstāvīgi.)

2. īpašība.

[Integrāļa ar mainīgu augšējo robežu diferencēšana]

Ja ir nepārtraukta intervālā funkcija, tad $\Phi$ ir diferencējama šajā intervālā funkcija, pie tam

$\displaystyle \Phi'(x)=f(x)$ jeb $\displaystyle \quad\left(\int\limits_a^xf(t)dt\right)'=f(x)\/.$

(Integrāļa ar mainīgu augšējo robežu atvasinājums ir vienāds ar zemintegrāļa funkciju, kas izskaitļota augšējās robežas punktā.)

$\blacktriangleright$ Tāpat kā iepriekš, izvēlas patvaļīgu $x\in[a;b]$ un $\Delta x$ tādu, lai
$x+\Delta x\in[a;b]$ .

Apskata

$\displaystyle \Delta\Phi(x)=\int\limits_a^{x+\Delta x}f(t)dt-\int\limits_a^xf(t)dt= \int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt=f(x+\Theta\Delta x)\Delta x\/,$

kur $0\leq\Theta\leq 1$ .

(Tika pielietota teorēma par noteiktā integrāļa vidējo vērtību.)

Apskata attiecību

$\displaystyle \frac{\Delta\Phi(x)}{\Delta x}=f(x+\Theta\Delta x)\/.$

Tā kā

ir nepārtraukta funkcija, tad eksistē robeža šīs vienādības labajai pusei, kad $\Delta x\rightarrow 0$ un tā ir vienāda ar

. Tāpēc eksistē arī robeža šīs vienādības kreisajai pusei, kad $\Delta x\rightarrow 0$ , pie tam

$\displaystyle \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta\Phi(x)}{\Delta x}=f(x)\/.$

Tādējādi eksistē $\Phi'(x)=f(x)$ . $\blacktriangleleft$

Sekas.

Ja $\varphi$ ir diferencējama, bet ir nepārtraukta intervālā funkcija, tad saskaņā ar teorēmu par saliktas funkcijas diferencēšanu

$\displaystyle \psi(x)=\int\limits_a^{\varphi(x)}f(t)dt$

ir diferencējama šajā intervālā funkcija, pie tam

$\displaystyle \psi'(x)=\left(\int\limits_a^{\varphi(x)}f(t)dt\right)'= f\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi'(x)\/.$

(Pierādīt patstāvīgi.)

3.1. piezīme.: Teorēma par noteiktā integrāļa atvasināšanu pēc mainīgās augšējās integrēšanas robežas ir viena no matemātiskās analīzes pamatteorēmām. Šī teorēma izsaka, ka $\int\limits_a^xf(t)dt$ ir viena no intervālā nepārtrauktas funkcijas primitīvajām funkcijām. Tādējādi jebkurai intervālā nepārtrauktai funkcijai eksistē primitīvā funkcija un viena no tām ir $\int\limits_a^xf(t)dt$ .

2002-11-06