Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.3. Saliktas funkcijas nepārtrauktība Augstāk: 2. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJAS ROBEŽA UN Iepriekšējais: 2.1. Vairāku argumentu funkcijas robeža

2.2. Punktā nepārtraukta funkcija

Uzskata, ka vairāku argumentu funkcija $f(P)$ ir definēta punkta $P_0$ kaut kādā apkārtnē, ieskaitot arī pašu punktu $P_0$.

2.4. definīcija. 

Funkciju $f(P)$ sauc par nepārtrauktu punktā $P_0$, ja $\lim\limits_{P\rightarrow P_0}f(P)=f(P_0)$.

Izmantojot funkcijas robežas definīcijas (2.1. un 2.2. definīcija), var iegūt vēl divas punktā nepārtrauktas funkcijas definīcijas.

2.5. definīcija. 

Funkciju $f(P)$ sauc par nepārtrauktu punktā $P_0$, ja jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds $\delta >0$, ka visiem $P$, kuriem $\rho\bigl(P,P_0\bigr)<\delta$, izpildās nevienādība $\left\vert f(P)-f\bigl(P_0\bigr)\right\vert<\varepsilon$.

2.6. definīcija. 

Funkciju $f(P)$ sauc par nepārtrauktu punktā $P_0$, ja jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds $\delta >0$, ka visiem $P$, kas pieder punkta $P_0$ $\delta$ - apkārtnei, ir spēkā nevienādība $\left\vert f(P)-f\bigl(P_0\bigr)\right\vert<\varepsilon$.

Tāpat kā viena argumenta funkcijām, arī vairāku argumentu nepārtrauktām funkcijām ir spēkā šādas teorēmas (pierādījumi arī ir analoģiski).

2.6. teorēma. 

Ja funkcija ir nepārtraukta punktā, tad tā ir ierobežota šī punkta kaut kādā apkārtnē.

2.7. teorēma. 

Ja funkcija $f(P)$ ir nepārtraukta punktā $P_0$ un $f\bigl(P_0\bigr)>0$ $\bigl(f\bigl(P_0\bigr)<0\bigr)$, tad eksistē šī punkta tāda apkārtne, kurā $f(P)>0$ $(f(P)<0)$.

2.8. teorēma. 

Ja funkcijas $f(P)$, $g(P)$ ir nepārtrauktas punktā $P_0$, tad šo funkciju summa, starpība, reizinājums un dalījums ir nepārtrauktas šajā punktā funkcijas.

Lai izveidotu vēl vienu punktā nepārtrauktas funkcijas definīciju, izmanto funkcijas pieaugumus.

Apskata, piemēram, divu argumentu funkciju $z=f(x,y)$, kas definēta punkta $P_0\bigl(x_0,y_0\bigr)$ kaut kādā apkārtnē. Argumentiem $x$ un $y$ izvēlas patvaļīgus pieaugumus $\Delta x$ un $\Delta y$, bet tādus, lai punkts $P\bigl(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\bigr)$ arī piederētu šai apkārtnei (2.3. zīm.).

2.3. zīm.

Starpību $f\bigl(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\bigr)-f\bigl(x_0, y_0\bigr)$ sauc par funkcijas $f(x,y)$ pilno pieaugumu punktā $P_0\bigl(x_0,y_0\bigr)$, kas atbilst argumentu pieaugumiem $\Delta x$ un $\Delta y$, un apzīmē ar $\Delta f\bigl(x_0,y_0\bigr)$ jeb $\Delta f\bigl(P_0\bigr)$ (īsāk $\Delta z$). Starpību $f\bigl(x_0+\Delta x, y_0\bigr)-f\bigl(x_0, y_0\bigr)$ sauc par funkcijas $f(x,y)$ parciālo pieaugumu punktā $P_0\bigl(x_0,y_0\bigr)$ pēc $\mathbf{x}$, bet $f\bigl(x_0, y_0+\Delta y\bigr)-f\bigl(x_0, y_0\bigr)$ - funkcijas $f(x,y)$ parciālo pieaugumu punktā $P_0\bigl(x_0,y_0\bigr)$ pēc $\mathbf{y}$. Šos parciālos pieaugumus apzīmē atbilstoši ar $\Delta_{x} f\bigl(x_0,y_0\bigr)$ un $\Delta_{y} f\bigl(x_0,y_0\bigr)$ (īsāk $\Delta_{x} z$, $\Delta_{y} z$).

Tādējādi (skat. 2.3. zīm.)

$$\Delta z =f\bigl(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\bigr)-f\bigl(x_0, y_0\bigr)=f(P)-f\bigl(P_0\bigr)\/;$$

$$\Delta_{x} z =f\bigl(x_0+\Delta x, y_0\bigr)-f\bigl(x_0, y_0\bigr)=f(K)-f\bigl(P_0\bigr)\/;$$

$$\Delta_{y} z =f\bigl(x_0, y_0+\Delta y\bigr)-f\bigl(x_0, y_0\bigr)=f(M)-f\bigl(P_0\bigr)\/.$$

2.4. piezīme. 

Analoģiski definē triju argumentu funkcijas $u=f(x,y,z)$ pilno pieaugumu $\Delta u$ un parciālos pieaugumus $\Delta_{x} u$, $\Delta_{y} u$ un $\Delta_{z} u$.

2.7. definīcija. 

Divu argumentu funkciju $z=f(P)$ sauc par nepārtrauktu punktā $P_0$, ja funkcijas pilnais pieaugums $\Delta z$ punktā $P_0$ ir bezgalīgi maza funkcija, kad $P\rightarrow P_0$ ( $\Delta x\rightarrow 0$ un $\Delta y\rightarrow 0$), t.i., $\lim\limits_{\substack{\Delta x\rightarrow 0\\ \Delta y\rightarrow 0}}\Delta z=0$.

2.5. piezīme. 

Ja $\Delta z\rightarrow 0$, tad acīmredzami, $\Delta_{x} z\rightarrow 0$. Apgrieztais apgalvojums nav spēkā (skat. 12. vingr.).

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.3. Saliktas funkcijas nepārtrauktība Augstāk: 2. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJAS ROBEŽA UN Iepriekšējais: 2.1. Vairāku argumentu funkcijas robeža