Matemātika DU TSC
Nākamais: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Augstāk: 2. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJAS ROBEŽA UN Iepriekšējais: 2.5. Jautājumi

2.6. Vingrinājumi

1. Pierādīt, ka $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ y\rightarrow y_0}}C=C$ ($C$ - konstante) un $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ y\rightarrow y_0}}x=x_0$.
2. Formulēt apkārtņu svarīgākās īpašības.
3. Pierādīt funkcijas $z=f(x,y)$ robežas vienīgumu.
4. Pierādīt, ka funkcija, kurai eksistē robeža, ir ierobežota funkcija.
5. Pierādīt teorēmu par robežpāreju nevienādībās.
6. Pierādīt teorēmu par mainīgā starplieluma robežu.
7. Pierādīt teorēmu par divu funkciju summas robežu.
8. Izskaitļot robežas:
   a) $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 2}}\frac{\sin xy}{x}$;
   b) $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 0}}\left(x^2+y^2\right)\sin \frac{1}{xy}$;
   c) $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 0}}\frac{x+y}{x^2+y^2}$;
   d) $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 0}}\frac{x}{x+y}$;
   e) $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 0}}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$.
9. Definēt triju argumentu funkcijas pilno un parciālos pieaugumus.
10. Atrast funkciju pilno un parciālos pieaugumus punktā $P_0$.
    a) $f(x,y)=x^2+xy-y^2+1,\quad P_0(1,-2)$;
    b) $u=xy+yz+xz,\quad P_0(1,0,-1)$.
11. Kā izmainīsies taisnstūra diagonāle, ja vienu taisnstūra malu $a=10$ cm pagarināt par $4$ mm, bet otru -  $b=12$ cm saīsināt par $1$ mm?
12. Parādīt, ka funkcija
    $$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ccl} \frac{2xy}{x^2+y^2}, & \text{ja} & x^2+y^2\neq 0,\\ 0, & \text{ja} & x=y=0, \end{array}\right.$$
    ir nepārtraukta punktā $(0,0)$ pēc katra no mainīgiem $x$ un $y$, apskatot tos atsevišķi, bet nav nepārtraukta šajā punktā kā divu mainīgo funkcija.
13. Atrast funkcijas $z=\sqrt{x}+\ln y$ definīcijas apgabalu. Norādīt tā iekšējos, ārējos un robežas punktus.
14. Atrast funkciju definīcijas apgabalus un noskaidrot, vai iegūtās kopas ir slēgtas, vaļējas, sakarīgas, ierobežotas.
    a) $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$;
    b) $z=\ln(x+y)$;
    c) $z=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2-4}}$;
    d) $z=x+\arcsin y$;
    e) $z=\arcsin\frac{x}{2}+\sqrt{xy}$;
    f) $z=\arccos\frac{x}{2}+\frac{1}{\sqrt{xy}}$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Augstāk: 2. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJAS ROBEŽA UN Iepriekšējais: 2.5. Jautājumi