Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.5. Jautājumi Augstāk: 2. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJAS ROBEŽA UN Iepriekšējais: 2.3. Saliktas funkcijas nepārtrauktība

2.4. Slēgtas un vaļējas kopas. Kopā nepārtrauktas funkcijas

2.8. definīcija. 

Punktu $P_0$ sauc par kopas $D$ iekšējo punktu, ja eksistē šī punkta tāda apkārtne, kas iekļaujas kopā $D$.

2.9. definīcija. 

Punktu $P_0$ sauc par kopas $D$ ārējo punktu, ja eksistē šī punkta tāda apkārtne, kas nesatur nevienu kopas $D$ punktu.

2.10. definīcija. 

Punktu $P_0$ sauc par kopas $D$ robežas punktu, ja šī punkta jebkura apkārtne satur gan kopai $D$ piederošos, gan kopai $D$ nepiederošos punktus.

2.4. zīm.

2.8. piezīme. 

$\phantom{}$

1. 2.4. zīmējumā punkts $A$ ir kopas $D$ iekšējais, $B$ - kopas $D$ ārējais, bet $C$ - kopas $D$ robežas punkts.
2. Acīmredzami katrs kopas iekšējais punkts pieder šai kopai, bet kopas robežas punkts var gan piederēt, gan nepiederēt šai kopai (skat. 2.4., 2.5. zīm.).

Piemēram, kopu $D$ veido koordinātu plaknes tie punkti, kuri apmierina nevienādību $x^2+y^2\leq 4$. Šīs kopas robežas punkti ir riņķa līnijas $x^2+y^2=4$ punkti, kas pieder $D$.

2.11. definīcija. 

Kopu $D$ sauc par slēgtu kopu, ja tā satur visus savus robežas punktus.

2.9. piezīme. 

Kopa $D$, kas apskatīta iepriekšējā piemērā, ir slēgta kopa.

2.12. definīcija. 

Kopu $D$ sauc par vaļēju kopu, ja tā nesatur nevienu savu robežas punktu.

2.10. piezīme. 

Vaļēja kopa sastāv tikai no saviem iekšējiem punktiem.

Piemēram, kopa $D$, kuru veido koordinātu plaknes tie punkti, kuri apmierina nevienādību $x^2+y^2<4$, ir vaļēja kopa.

2.11. piezīme. 

Eksistē tādas kopas, kuras nav ne vaļējas, ne slēgtas kopas.

2.5. zīm.

Piemēram, kopa $D$, kuru veido koordinātu plaknes tie punkti, kas apmierina nevienādību $1\leq x^2+y^2<16$ (2.5. zīm.) nav ne vaļēja, ne slēgta kopa.

2.13. definīcija. 

Kopu $D$ sauc par sakarīgu kopu, ja šīs kopas jebkurus divus punktus var savienot ar lauztu līniju (šai lauztai līnijai posmu skaits ir galīgs), kas iekļaujas kopā $D$.

2.6. zīm.

2.7. zīm.

2.12. piezīme. 

$\phantom{\/}$2.6. un 2.7. zīmējumā ir attēlotas sakarīgas kopas koordinātu plaknē.

2.14. definīcija. 

Kopu $D$ sauc par ierobežotu kopu, ja eksistē tāds skaitlis $M>0$, ka visiem $P\in D$ izpildās nevienādība $\rho\bigl(P,P_0\bigr)<M$, kur $P_0$ - kopas $D$ fiksēts punkts.

2.13. piezīme. 

Ja ierobežota kopa $D$ atrodas plaknē (telpā), tad, acīmredzami, eksistē tāds vaļējs riņķis (vaļēja lode) ar centru punktā $P_0$ un rādiusu $M$, kas satur kopu $D$.

Definējot punktā $P_0$ nepārtrauktu funkciju, uzskatīja, ka $P_0$ ir funkcijas definīcijas apgabala iekšējais punkts.

Atliek definēt punktā $P_0$ nepārtrauktu funkciju, ja $P_0$ ir funkcijas definīcijas apgabala $D$ robežas punkts, pie tam $P_0\in D$.

2.15. definīcija. 

Funkciju $f(P)$ sauc par nepārtrauktu tās definīcijas apgabala $D$ robežas punktā $P_0\in D$, ja jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds $\delta >0$, ka visiem $P\in D$, kuriem izpildās nevienādība $\rho\bigl(P,P_0\bigr)<\delta$, ir spēkā nevienādība $\bigl\vert f(P)-f(P_0)\bigr\vert<\varepsilon$.

2.16. definīcija. 

Funkciju $f(P)$, kas nepārtraukta kopas katrā punktā, sauc par kopā $D$ nepārtrauktu funkciju.

Slēgtā un ierobežotā kopā nepārtrauktu vairāku argumentu funkciju īpašības ir analogas slēgtā intervālā nepārtrauktu viena argumenta funkciju īpašībām.

1. īpašība.

(Veierštrāsa 1. teorēma).

Ja funkcija $f(P)$ ir nepārtraukta slēgtā un ierobežotā kopā $D$, tad tā ir ierobežota šajā kopā.

2. īpašība.

(Veierštrāsa 2. teorēma).

Ja funkcija $f(P)$ ir nepārtraukta slēgtā un ierobežotā kopā $D$, tad tā sasniedz šajā kopā savu vismazāko un vislielāko vērtību.

Ja $D$ - sakarīga kopa un $f(P)$ - nepārtraukta funkcija šajā kopā, tad ir spēkā Bolcano teorēma par nepārtrauktas funkcijas starpvērtībām.

2.10. teorēma. 

(Bolcano teorēma).

Ja sakarīgā kopā $D$ nepārtraukta funkcija $f(P)$ šīs kopas divos punktos $A$ un $B$ pieņem dažādas vērtības, $f(A)\neq f(B)$, tad kāds arī nebūtu skaitlis $\mu$ starp $f(A)$ un $f(B)$ eksistē $C\in D$, ka $f(C)=\mu$.

Sekas.

(Par nepārtrauktas funkcijas nullēm).

Ja sakarīgā kopā $D$ nepārtraukta funkcija $f(P)$ šīs kopas divos punktos $A$ un $B$ pieņem vērtības $f(A)$ un $f(B)$, kurām ir pretējas zīmes, tad eksistē tāds punkts $C\in D$, ka $f(C)=0$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.5. Jautājumi Augstāk: 2. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJAS ROBEŽA UN Iepriekšējais: 2.3. Saliktas funkcijas nepārtrauktība