nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.4. Slēgtas un vaļējas kopas. Kopā Augstāk: 2. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJAS ROBEŽA UN Iepriekšējais: 2.2. Punktā nepārtraukta funkcija

2.3. Saliktas funkcijas nepārtrauktība


Apskata kopā $ \;E\/$ definētu funkciju $ \;z=f(u,v)\/$, kur $ \;u=u(x,y)\/$ un $ \;v=v(x,y)$ ir kopā $ D$ definētas funkcijas. Ja visiem $ (x,y)\in D$ vērtības $ u=u(x,y)$ un $ v=v(x,y)$ ir tādas, ka $ (u,v)\in E$, tad saka, ka kopā $ D$ ir definēta salikta funkcija $ z=f(u,v)$, kur $ u=u(x,y)$, $ v=v(x,y)$. Šo salikto funkciju var uzrakstīt $ z=f\bigl(u(x,y), v(x,y)\bigr)$.

Piemēram, $ z=\sin^2(x+y)+\cos^3(x-y)$ var uzskatīt par saliktu funkciju, jo to var uzrakstīt kā $ z=u^2+v^3$, kur $ u=\sin(x+y)$, $ v=\cos(x-y)$. Funkcija ir definēta visā koordinātu plaknē.
2.6. piezīme. 
$ \phantom{}$
  1. Argumentus $ x$ un $ y$ sauc par neatkarīgiem argumentiem, bet $ u$ un $ v$ -  par starpargumentiem.
  2. Starpargumentu un neatkarīgo argumentu skaits var būt patvaļīgs un dažāds.

Piemēram, $ w=f(u,v)$, kur $ u=u(x,y,z)$, $ v=v(x,t)$ ir salikta funkcija. Starpargumenti ir $ u$ un $ v$, bet neatkarīgie mainīgie - $ x,y,z,t$.

2.9. teorēma. 
(Par saliktas funkcijas nepārtrauktību).

Ja kopā $ D$ ir definēta salikta funkcija $ z=f(u,v)$, kur $ u=u(x,y)$, $ \;v=v(x,y)$, funkcijas $ \;u(x,y)$, $ v(x,y)\;$ - nepārtrauktas punktā $ \;\bigl(x_0,y_0\bigr)\in D$ un $ f(u,v)$ - nepārtraukta atbilstošajā punktā $ \bigl(u_0,v_0\bigr)$, kur $ u_0=u\bigl(x_0,y_0\bigr)$, $ v_0=v\bigl(x_0,y_0\bigr)$, tad salikta funkcija

$\displaystyle z=f\bigl(u(x,y), v(x,y)\bigr)$

ir nepārtraukta punktā $ \bigl(x_0,y_0\bigr)$
.

$ \blacktriangleright$ Apzīmē ar $ \rho\bigl(S,S_0\bigr)$ attālumu starp punktiem $ S(u,v)$ un $ S_0\bigl(u_0,v_0\bigr)$. Ir zināms, ka $ \rho\bigl(S,S_0\bigr)=\sqrt{\bigl(u-u_0\bigr)^2+\bigl(v-v_0\bigr)^2}$. Tā kā funkcija $ f(u,v)$ ir nepārtraukta punktā $ \bigl(u_0,v_0\bigr)$, tad saskaņā ar definīciju jebkuram $ \varepsilon
>0$ eksistē tāds $ \lambda >0$, ka no nevienādības $ \rho\bigl(S,S_0\bigr)<\lambda$ seko nevienādība $ \left\vert f(S)-f(S_0)\right\vert<\varepsilon$. Tā kā funkcijas $ u(x,y)$ un $ v(x,y)$ ir nepārtrauktas punktā $ \bigl(x_0,y_0\bigr)$, tad dotajam $ \lambda$ eksistē tādi $ \delta_1$ un $ \delta_2$ pozitīvi, ka no nevienādībām $ \rho\bigl(P,P_0\bigr)<\delta_1$ un $ \rho\bigl(P,P_0\bigr)<\delta_2$ seko atbilstošas nevienādības

$\displaystyle \bigl\vert u(P)-u(P_0)\bigr\vert$ $\displaystyle <\frac{\lambda}{2};$    
$\displaystyle \bigl\vert v(P)-v(P_0)\bigr\vert$ $\displaystyle <\frac{\lambda}{2}.$    

(Punkta $ P$ koordinātas ir $ x$ un $ y$, bet $ P_0$ koordinātas ir $ x_0$ un $ y_0$).

Apzīmē ar $ \delta=\min\bigl(\delta_1;\delta_2\bigr)$. Tagad no nevienādības $ \rho\bigl(P,P_0\bigr)<\delta$ seko divas nevienādības $ \bigl\vert u(P)-u(P_0)\bigr\vert<\frac{\lambda}{2}$ un $ \bigl\vert v(P)-v(P_0)\bigr\vert<\frac{\lambda}{2}$.

Izmantojot šīs nevienādības, var iegūt, ka attālums

\begin{multline*}
\rho\bigl(S,S_0\bigr)=\sqrt{\bigl(u(P)-u(P_0)\bigr)^2+
\bigl(v...
...)-v(P_0)\bigr\vert<
\frac{\lambda}{2}+\frac{\lambda}{2}=\lambda.
\end{multline*}

Tādējādi no nevienādības $ \rho(P,P_0)<\delta$ seko nevienādība $ \rho(S,S_0)<\lambda$, bet no tās seko nevienādība $ \bigl\vert f(S)-f(S_0)\bigr\vert<\varepsilon$ jeb

$\displaystyle \bigl\vert f\bigl(u(P),v(P)\bigr)-f\bigl(u\bigl(P_0\bigr),v\bigl(P_0\bigr)\bigr)\bigr\vert<\varepsilon\/.$

Šī nevienādība norāda, ka salikta funkcija $ z=f\bigl(u(x,y), v(x,y)\bigr)$ ir nepārtraukta punktā $ P_0\bigl(x_0,y_0\bigr)$. $ \blacktriangleleft$

2.7. piezīme. 
Teorēmā tika apskatīta situācija, kad ir divi neatkarīgie mainīgie un divi starpargumenti, jo saliktas funkcijas vispārīgo gadījumu apskatīt praktiski nav iespējams.

nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.4. Slēgtas un vaļējas kopas. Kopā Augstāk: 2. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJAS ROBEŽA UN Iepriekšējais: 2.2. Punktā nepārtraukta funkcija

2002-06-21