Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.4. Slēgtas un vaļējas kopas. Kopā Augstāk: 2. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJAS ROBEŽA UN Iepriekšējais: 2.2. Punktā nepārtraukta funkcija

2.3. Saliktas funkcijas nepārtrauktība

Apskata kopā $\;E\/$ definētu funkciju $\;z=f(u,v)\/$, kur $\;u=u(x,y)\/$ un $\;v=v(x,y)$ ir kopā $D$ definētas funkcijas. Ja visiem $(x,y)\in D$ vērtības $u=u(x,y)$ un $v=v(x,y)$ ir tādas, ka $(u,v)\in E$, tad saka, ka kopā $D$ ir definēta salikta funkcija $z=f(u,v)$, kur $u=u(x,y)$, $v=v(x,y)$. Šo salikto funkciju var uzrakstīt $z=f\bigl(u(x,y), v(x,y)\bigr)$.

Piemēram, $z=\sin^2(x+y)+\cos^3(x-y)$ var uzskatīt par saliktu funkciju, jo to var uzrakstīt kā $z=u^2+v^3$, kur $u=\sin(x+y)$, $v=\cos(x-y)$. Funkcija ir definēta visā koordinātu plaknē.

2.6. piezīme. 

$\phantom{}$

1. Argumentus $x$ un $y$ sauc par neatkarīgiem argumentiem, bet $u$ un $v$ -  par starpargumentiem.
2. Starpargumentu un neatkarīgo argumentu skaits var būt patvaļīgs un dažāds.

Piemēram, $w=f(u,v)$, kur $u=u(x,y,z)$, $v=v(x,t)$ ir salikta funkcija. Starpargumenti ir $u$ un $v$, bet neatkarīgie mainīgie - $x,y,z,t$.

2.9. teorēma. 

(Par saliktas funkcijas nepārtrauktību).

Ja kopā $D$ ir definēta salikta funkcija $z=f(u,v)$, kur $u=u(x,y)$, $\;v=v(x,y)$, funkcijas $\;u(x,y)$, $v(x,y)\;$ - nepārtrauktas punktā $\;\bigl(x_0,y_0\bigr)\in D$ un $f(u,v)$ - nepārtraukta atbilstošajā punktā $\bigl(u_0,v_0\bigr)$, kur $u_0=u\bigl(x_0,y_0\bigr)$, $v_0=v\bigl(x_0,y_0\bigr)$, tad salikta funkcija

$$z=f\bigl(u(x,y), v(x,y)\bigr)$$

ir nepārtraukta punktā $\bigl(x_0,y_0\bigr)$.

$\blacktriangleright$ Apzīmē ar $\rho\bigl(S,S_0\bigr)$ attālumu starp punktiem $S(u,v)$ un $S_0\bigl(u_0,v_0\bigr)$. Ir zināms, ka $\rho\bigl(S,S_0\bigr)=\sqrt{\bigl(u-u_0\bigr)^2+\bigl(v-v_0\bigr)^2}$. Tā kā funkcija $f(u,v)$ ir nepārtraukta punktā $\bigl(u_0,v_0\bigr)$, tad saskaņā ar definīciju jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds $\lambda >0$, ka no nevienādības $\rho\bigl(S,S_0\bigr)<\lambda$ seko nevienādība $\left\vert f(S)-f(S_0)\right\vert<\varepsilon$. Tā kā funkcijas $u(x,y)$ un $v(x,y)$ ir nepārtrauktas punktā $\bigl(x_0,y_0\bigr)$, tad dotajam $\lambda$ eksistē tādi $\delta_1$ un $\delta_2$ pozitīvi, ka no nevienādībām $\rho\bigl(P,P_0\bigr)<\delta_1$ un $\rho\bigl(P,P_0\bigr)<\delta_2$ seko atbilstošas nevienādības

$$\bigl\vert u(P)-u(P_0)\bigr\vert <\frac{\lambda}{2};$$

$$\bigl\vert v(P)-v(P_0)\bigr\vert <\frac{\lambda}{2}.$$

(Punkta $P$ koordinātas ir $x$ un $y$, bet $P_0$ koordinātas ir $x_0$ un $y_0$).

Apzīmē ar $\delta=\min\bigl(\delta_1;\delta_2\bigr)$. Tagad no nevienādības $\rho\bigl(P,P_0\bigr)<\delta$ seko divas nevienādības $\bigl\vert u(P)-u(P_0)\bigr\vert<\frac{\lambda}{2}$ un $\bigl\vert v(P)-v(P_0)\bigr\vert<\frac{\lambda}{2}$.

Izmantojot šīs nevienādības, var iegūt, ka attālums

$$\begin{multline*} \rho\bigl(S,S_0\bigr)=\sqrt{\bigl(u(P)-u(P_0)\bigr)^2+ \bigl(v... ...)-v(P_0)\bigr\vert< \frac{\lambda}{2}+\frac{\lambda}{2}=\lambda. \end{multline*}$$

Tādējādi no nevienādības $\rho(P,P_0)<\delta$ seko nevienādība $\rho(S,S_0)<\lambda$, bet no tās seko nevienādība $\bigl\vert f(S)-f(S_0)\bigr\vert<\varepsilon$ jeb

$$\bigl\vert f\bigl(u(P),v(P)\bigr)-f\bigl(u\bigl(P_0\bigr),v\bigl(P_0\bigr)\bigr)\bigr\vert<\varepsilon\/.$$

Šī nevienādība norāda, ka salikta funkcija $z=f\bigl(u(x,y), v(x,y)\bigr)$ ir nepārtraukta punktā $P_0\bigl(x_0,y_0\bigr)$. $\blacktriangleleft$

2.7. piezīme. 

Teorēmā tika apskatīta situācija, kad ir divi neatkarīgie mainīgie un divi starpargumenti, jo saliktas funkcijas vispārīgo gadījumu apskatīt praktiski nav iespējams.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.4. Slēgtas un vaļējas kopas. Kopā Augstāk: 2. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJAS ROBEŽA UN Iepriekšējais: 2.2. Punktā nepārtraukta funkcija