Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.3. Jautājumi Augstāk: 1. PAMATJĒDZIENI Iepriekšējais: 1.1. Vairāku argumentu funkcijas jēdziens

1.2. Vairāku argumentu funkcijas ģeometriskā interpretācija

Ja divu argumentu funkcija ir uzdota ar formulu $z=f(x,y)$, tad par šīs funkcijas grafiku sauc trijotņu $(x,y,z)$, kur $(x,y)\in D$ un $z=f(x,y)$, kopu. Šo kopu var attēlot koordinātu telpā.

Piemēram, funkcijas $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ grafiks ir sfēras $x^2+y^2+z^2=4$ tā daļa, kas atrodas $xOy$ plaknē un virs tās (1.1. zīm.).

1.1. zīm.

1.3. piezīme. 

Triju, četru utt. argumentu funkciju grafikiem nevar sniegt uzskatāmu ģeometrisko interpretāciju.

Divu argumentu funkcijai $z=f(x,y)$ var sniegt vēl šādu ģeometrisko interpretāciju: aplikātai $z$ piešķirot konstantas vērtības $c_1,c_2,\ldots,c_n,\ldots$, $xOy$ plaknē iegūst līnijas

$$f(x,y)=c_1, f(x,y)=c_2,\ldots, f(x,y)=c_n,\ldots\;.$$

Šīs līnijas sauc par funkcijas $z=f(x,y)$ līmeņlīnijām. Ģeometriski šīs līmeņlīnijas var iegūt, šķeļot virsmu $z=f(x,y)$ ar plaknei $xOy$ paralēlām plaknēm $z=c_1$, $z=c_2$, $\ldots$, $z=c_n$, $\ldots$ un pēc tam šķēluma līnijas projicējot $xOy$ plaknē (1.2. zīm.).

1.2. zīm.

1.4. piezīme. 

Lai sniegtu triju argumentu funkcijām ģeometrisko interpretāciju, izmanto tā saucamās līmeņvirsmas^1.2.

1.1. piemērs. 

Konstruēt līmeņvirsmas funkcijai $z=x^2+y^2-1$.

Izvēlas $c_1=-1$; $x^2+y^2-1=-1$, $x^2+y^2=0$. Iegūst punktu $O(0,0)$.

Izvēlas $c_2=0$; $x^2+y^2-1=0$, $x^2+y^2=1$. Iegūst vienības riņķa līniju.

Izvēlas $c_3=1$; $x^2+y^2-1=1$, $x^2+y^2=2$. Iegūst riņķa līniju ar rādiusu $\sqrt{2}$.

Izvēlas $c_4=8$; $x^2+y^2=9$. Iegūst riņķa līniju ar rādiusu $3$ utt.

Līmeņlīnijas attēlotas 1.3. zīm., bet funkcijas $z=x^2+y^2-1$ grafiks - 1.4. zīm. Koordinātu telpā iegūst virsmu, kuru sauc par rotācijas paraboloīdu.

1.3. zīm.

1.4. zīm.

1.1. definīcija. 

Kopā $D$ definētu funkciju $z=f(x,y)$ sauc par ierobežotu no augšas (no apakšas), ja no augšas (no apakšas) ir ierobežots tās vērtību apgabals, t.i., ja eksistē tāds reāls skaitlis $M$ (attiecīgi $m$), ka visiem $(x;y)\in D$ izpildās nevienādība $f(x,y)\leq M$ (attiecīgi $f(x,y)\geq m$). Funkciju sauc par ierobežotu, ja tā ir ierobežota gan no augšas, gan no apakšas.

Piemēram, funkcija $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ ir ierobežota, jo visiem $(x,y)$ no tās definīcijas apgabala ir spēkā nevienādība $0\leq \sqrt{4-x^2-y^2}\leq 2$. (Skat. 1.1. zīm.).

Funkcija $z=x^2+y^2-1$ ir ierobežota no apakšas, bet nav ierobežota no augšas. (Skat. 1.4. zīm.).

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.3. Jautājumi Augstāk: 1. PAMATJĒDZIENI Iepriekšējais: 1.1. Vairāku argumentu funkcijas jēdziens