Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.3. Jautājumi Augstāk: 4. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU PĒTĪŠANA UZ Iepriekšējais: 4.1. Vairāku argumentu funkcijas maksimums un

4.2. Divu argumentu funkcijas vismazākās un vislielākās vērtības atrašana

Iepriekš tika atzīmēts, ka slēgtā un ierobežotā kopā $D$ nepārtraukta funkcija ir ierobežota un sasniedz kopā $D$ vismazāko un vislielāko vērtību.

Skaidrs, ka šīs vērtības funkcija var sasniegt $D$ iekšējos punktos (acīmredzami šie punkti ir funkcijas ekstrēma punkti) vai arī $D$ robežas punktos.

Tāpēc, lai atrastu slēgtā un ierobežotā kopā $D$ nepārtrauktas funkcijas vislielāko un vismazāko vērtību, atrod kopas $D$ tos iekšējos punktus, kuros izpildās ekstrēma nepieciešamais nosacījums un izskaitļo funkcijas vērtības šajos punktos. Atrod arī funkcijas vislielāko un vismazāko vērtību uz $D$ robežas (kopas $D$ punktos iegūst viena argumenta funkciju).

Visbeidzot no visām iegūtajām funkcijas vērtībām izvēlas mazāko (apzīmē $\min\limits_{D}f(x,y)$) un lielāko vērtību (apzīmē $\max\limits_{D}f(x,y)$).

4.5. piezīme. 

Ja kopa $D$ nav slēgta vai nav ierobežota, vai funkcija nav nepārtraukta kopā $D$, tad funkcijai vislielākā vai vismazākā vērtība var neeksistēt.

4.3. zīm.

4.6. piemērs. 

Atrast funkcijas

$$f(x,y)=x^2+y^2-xy+x+y$$

vismazāko un vislielāko vērtību kopā, kuru ierobežo taisnes $x=0$, $y=0$, $x+y=-3$.

Vispirms kopu $D$ attēlo grafiski (4.3. zīm.). Atrod $f_x'=2x-y+1$, $f_y'=2y-x+1$. Atrisina sistēmu

$$\left\{\begin{array}{l} 2x-y+1=0, \\ 2y-x+1=0. \end{array}\right.$$

Funkcijas stacionārais punkts $P_0(-1,-1)$ ir kopas $D$ iekšējais punkts. Izskaitļo $f(-1,-1)=-1$.

Pēta funkciju uz $D$ robežas. ($D$ robeža sastāv no $3$ nogriežņiem).

1. Uz nogriežņa $OA(y=0,\;-3\leq x\leq 0)$ $z=x^2+x$, $-3\leq x\leq 0$. Atrod $z'=2x+1$. Punkts $x=-\frac{1}{2}$ ir intervāla $[-3,0]$ iekšējais punkts, tāpēc izskaitļo $f\left(-\frac{1}{2},0\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$.
2. Uz nogriežņa $OB(x=0,\;-3\leq y\leq 0)$ $z=y^2+y$, $-3\leq y\leq 0$. Atrod $z'=2y+1$. Punkts $y=-\frac{1}{2}$ ir intervāla $[-3,0]$ iekšējais punkts, tāpēc izskaitļo $f\left(0,-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$.
3. Uz nogriežņa $AB(y=-x-3,\;-3\leq x\leq 0)$
   $$z=x^2+(-x-3)^2-x(-x-3)+x+(-x-3)=3x^2+9x+6,$$
   $-3\leq y\leq 0$. Atrod $z'=6x+9$. Punkts $x=-\frac{3}{2}$ ir intervāla $[-3,0]$ iekšējais punkts, tāpēc izskaitļo $f\left(-\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{4}$.

Visbeidzot izskaitļo funkcijas vērtības trijstūra $ABO$ (kopas $D$) virsotnēs.
$f(A)=f(-3,0)=9-3=6$;
$f(O)=f(0,0)=0$;
$f(B)=f(0,-3)=9-3=6$.
Tādējādi

$$\min\limits_{D}f(x,y)=f(-1,-1)=-1$$

un

$$\max\limits_{D}f(x,y)=f(-3,0)=f(0,-3)=6.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.3. Jautājumi Augstāk: 4. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU PĒTĪŠANA UZ Iepriekšējais: 4.1. Vairāku argumentu funkcijas maksimums un