Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.2. Divu argumentu funkcijas vismazākās un Augstāk: 4. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU PĒTĪŠANA UZ Iepriekšējais: 4. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU PĒTĪŠANA UZ

4.1. Vairāku argumentu funkcijas maksimums un minimums

Apskata punkta $P_0(x_0,y_0)$ apkārtnē definētu funkciju $f(x,y)$, kas nepārtraukta šajā punktā.

4.1. definīcija. 

Ja visiem punktiem $P(x,y)$, kas pieder punkta $P_0(x_0,y_0)$ apkārtnei un kas ir atšķirīgi no šī punkta, ir spēkā nevienādība $f(x,y)<f(x_0,y_0)$, tad $P_0(x_0,y_0)$ sauc par šīs funkcijas maksimuma punktu, bet funkcijas vērtību šajā punktā sauc par funkcijas maksimumu un apzīmē $\max f(x,y)=f(x_0,y_0)$. Analoģiski definē funkcijas minimuma punktu un tās minimumu.

4.2. definīcija. 

Funkcijas maksimuma vai minimuma punktu sauc par funkcijas ekstrēma punktu, bet funkcijas maksimumu vai minimumu sauc par funkcijas ekstrēmu.

Piemēram, funkcijai $f(x,y)=x^2+(y-1)^2-1$ punkts $P_0(0,1)$ ir tās minimuma punkts un $\min f(x,y)=f(0,1)=-1$.

4.1. teorēma. 

(Funkcijas ekstrēma nepieciešamais nosacījums).

Ja $P_0(x_0,y_0)$ ir funkcijas $f(x,y)$ ekstrēma punkts, tad šajā punktā funkcijas parciālie atvasinājumi $\frac{\partial f}{\partial x}$ un $\frac{\partial f}{\partial y}$ ir nulles (protams, ja tie eksistē), vai arī šajā punktā neeksistē vismaz viens no šiem parciālajiem atvasinājumiem (tas parciālais atvasinājums, kurš eksistē, ir nulle).

$\blacktriangleright$ Pieņem, ka $P_0(x_0,y_0)$ ir funkcijas maksimuma punkts. Tātad šī punkta pārdurtajā apkārtnē izpildās nevienādība $f(x,y)<f(x_0,y_0)$. Izpildās arī nevienādība $f(x,y_0)<f(x_0,y_0)$. Tas nozīmē, ka $x_0$ ir funkcijas $f(x,y_0)$ maksimuma punkts. ($f(x,y_0)$ var uzskatīt kā viena argumenta $x$ funkciju). Seko, ka šīs funkcijas atvasinājums, t.i., $\frac{\partial f}{\partial x}$ vai nu ir nulle (ja tas eksistē), vai arī neeksistē. Analoģiski pamato, ka $\frac{\partial f}{\partial y}$ ir vai nu nulle, vai arī neeksistē. $\blacktriangleleft$

4.1. piezīme. 

$\phantom{\/}$4.1. teorēma ir funkcijas ekstrēma tikai nepieciešamais nosacījums. Piemēram, funkcijai $f(x,y)=x^2+(y-1)^2-1$ parciālie atvasinājumi $\frac{\partial f}{\partial x}$ un $\frac{\partial f}{\partial y}$ punktā $P(0,1)$ ir nulles, pie tam punkts $P_0$ ir šīs funkcijas minimuma punkts. Funkcijai $f(x,y)=x^2-y^2$ parciālie atvasinājumi $\frac{\partial f}{\partial x}$ un $\frac{\partial f}{\partial y}$ punktā $P_0(0,0)$ arī ir nulles, bet $P_0$ nav šīs funkcijas ekstrēma punkts. (Izmantojot ekstrēma punkta definīciju, pamatot patstāvīgi!).

4.2. piezīme. 

Analoģiski definē triju un vairāku mainīgo funkcijas ekstrēma punktu un ekstrēmu, formulē un pierāda ekstrēma nepieciešamo nosacījumu.

4.2. teorēma. 

(Divu argumentu funkcijas ekstrēma pietiekamais nosacījums).

Ja funkcijai $f(x,y)$ punkta $P_0(x_0,y_0)$ apkārtnē eksistē nepārtraukti pirmās un otrās kārtas parciālie atvasinājumi, pie tam

$$f_x'(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$$

un $AC-B^2>0$, kur $A=f_{x^2}''(x_0,y_0)$, $C=f_{y^2}''(x_0,y_0)$, $B=f''_{xy}(x_0,y_0)$, tad $P_0(x_0,y_0)$ ir šīs funkcijas ekstrēma punkts. Pie tam $P_0(x_0,y_0)$ ir funkcijas maksimuma punkts, ja $A<0$, un minimuma punkts, ja $A>0$. Ja $AC-B^2<0$, tad $P_0(x_0,y_0)$ nav šīs funkcijas ekstrēma punkts.

$\blacktriangleright$ Funkcijai $f(x,y)$ uzraksta Teilora formulu ar $n=1$ punkta $P_0(x_0,y_0)$ apkārtnē. Argumentu pieaugumus apzīmē ar $h$ un $k$.

$$\begin{multline*} \Delta f(x_0,y_0)=f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=hf_x'(x_0,y_0)+kf_... ..._0+\Theta k)+\\ +k^2f_{y^2}''(x_0+\Theta h,y_0+\Theta k)\bigr), \end{multline*}$$

kur $0<\Theta<1$.

Tā kā $P_0(x_0,y_0)$ ir funkcijas stacionārais punkts, tad

$$f_x'(x_0,y_0)=f_y'(x_0,y_0)=0\/.$$

Apzīmē $A=f_{x^2}''(x_0,y_0)$, $B=f_{xy}''(x_0,y_0)$ un $C=f_{y^2}''(x_0,y_0)$. Saskaņā ar otrās kārtas parciālo atvasinājumu nepārtrauktību punktā $P_0(x_0,y_0)$ var rakstīt, ka

$$f_{x^2}''(x_0+\Theta h,y_0+\Theta k) =A+\alpha,$$

$$f_{xy}''(x_0+\Theta h,y_0+\Theta k) =B+\beta,$$

$$f_{y^2}''(x_0+\Theta h,y_0+\Theta k) =C+\gamma,$$

kur $\alpha,\beta,\gamma$ ir bezgalīgi mazas funkcijas, kad $\rho=\sqrt{h^2+k^2}\rightarrow 0$. Teilora formulu var uzrakstīt šādi:

$$\Delta f(x_0,y_0)=\frac{1}{2}\left(Ah^2+2Bhk+Ck^2+\alpha h^2+2\beta hk+\gamma k^2\right)\/.$$

4.1. zīm.

No 4.1. zīm. redzams, ka $k=\rho\sin\varphi$ un $h=\rho\cos\varphi$. Tāpēc

$$\begin{multline*} \Delta f(x_0,y_0)=\frac{\rho^2}{2}\Bigl(A\cos^2\varphi+2B\sin\... ...2\varphi+2\beta\sin\varphi\cos\varphi+\gamma\sin^2\varphi\Bigr). \end{multline*}$$

Apzīmē

$$P(\varphi)=A\cos^2\varphi+2B\sin\varphi\cos\varphi+C\sin^2\varphi,$$

$$w(\rho,\varphi)=\alpha\cos^2\varphi+2\beta\sin\varphi\cos\varphi+\gamma\sin^2\varphi$$

( $\alpha,\beta,\gamma$ - atkarīgi no $\rho$).

$$\boxed{\Delta f(x_0,y_0)=\frac{\rho^2}{2}(P(\varphi)+w(\rho,\varphi))\/.}$$

Funkcija $\left\vert P(\varphi)\right\vert$ - nepārtraukta intervālā $[-\pi,\pi]$, tāpēc tā sasniedz šajā intervālā savu vismazāko vērtību $m=\min\limits_{[-\pi,\pi]}\left\vert P(\varphi)\right\vert$. Tāpēcvisiem $\varphi~\in~ [-\pi,\pi]$ izpildās $\left\vert P(\varphi)\right\vert\geq m$.

Funkcijai $w(\rho,\varphi)$ izpildās $\left\vert w(\rho,\varphi)\right\vert\leq\left\vert\alpha\right\vert+2\left\vert\beta\right\vert+\left\vert\gamma\right\vert$. Ja $\rho\rightarrow 0$, tad $\alpha,\beta,\gamma\rightarrow 0$ un $w(\rho,\varphi)\rightarrow 0$. Tāpēc pietiekoši maziem $\rho$ (neatkarīgi no $\varphi$) izpildās $\left\vert w\right\vert<m$.

Punkta $P_0(x_0,y_0)$ kaut kādā apkārtnē (pietiekoši mazam $\rho$) izpildās vienlaicīgi $\left\vert P(\varphi)\right\vert\geq m$ un $\left\vert w\right\vert<m$, tāpēc šajā apkārtnē funkcijas pieauguma $\Delta f(x_0,y_0)$ zīmi nosaka $P(\varphi)$ zīme. Konkrēti $\Delta f(x_0,y_0)$ zīme sakrīt ar $P(\varphi)$ zīmi.

Apskata vairākus gadījumus.

1. $\Delta=AC-B^2>0$.
   Pieņem, ka $\sin\varphi\neq 0$. Tātad $P(\varphi)=\sin^2\varphi(A\ctg^2\varphi+2B\ctg\varphi+C)$. Kvadrāttrinoma $A\ctg^2\varphi+2B\ctg\varphi+C$ diskriminants ir
   $$D=4B^2-4AC=-4\Delta<0,$$
   tāpēc kvadrāttrinoms, kā arī $P(\varphi)$un $\Delta f(x_0,y_0)$ saglabā $A$ zīmi.
   Ja $\sin\varphi=0$, tad $\cos^2\varphi=1$ un $P(\varphi)=A$. Arī šoreiz $\Delta f(x_0,y_0)$ zīme sakrīt ar $A$ zīmi.
   1. Ja $A>0$, tad $\Delta f(x_0,y_0)>0$ un $P_0(x_0,y_0)$ - funkcijas minimuma punkts (skat. 4.1. definīciju);
   2. Ja $A<0$, tad $\Delta f(x_0,y_0)<0$ un $P_0(x_0,y_0)$ - funkcijas maksimuma punkts.
   Jāatzīmē, ka šoreiz $A\neq 0$ un tā zīme sakrīt ar $C$ zīmi, jo pretējā gadījumā būtu $\Delta\leq 0$.
2. $\Delta=AC-B^2<0$.
   Pieņem, ka $A\neq 0$ un, piemēram, $A>0$. Tādā gadījumā
   $$P(\varphi)= \frac{1}{A}\left((A\cos\varphi+B\sin\varphi)^2+(AC-B^2)\sin^2\varphi\right)\/.$$
   Punkta $P_0(x_0,y_0)$ apkārtnē apskata divus virzienus $\varphi=\varphi_1=0$ un $\varphi=\varphi_2$, kur $\varphi_2$ nosaka no vienādojuma $A\cos\varphi+B\sin\varphi=0$ jeb $\ctg\varphi=-\frac{B}{A}$($A\neq 0$). $P(\varphi_1)=A>0$, $P(\varphi_2)=\frac{1}{A}(AC-B^2)\sin^2\varphi<0$.
   Punkta $P_0(x_0,y_0)$apkārtnē $\Delta f(x_0,y_0)$ zīmi nesaglabā. Tādējādi $P_0(x_0,y_0)$ nav funkcijas ekstrēma punkts.
   Analoģiski apskata gadījumu, kad $A<0$.
   Beidzot pieņem, ka $A=0$.
   Iegūst
   $$P(\varphi)=2B\sin\varphi\cos\varphi+C\sin^2\varphi=\sin\varphi(2B\cos\varphi+C\sin\varphi)\/.$$
   Šoreiz $B\neq 0$, jo pretējā gadījumā būtu $\Delta =0$.
   Izteiksmes $2B\cos\varphi+C\sin\varphi$ zīme pietiekoši maziem $\varphi$ ir atkarīga no $2B\cos\varphi$ zīmes, jo šādiem $\varphi$ spēkā $\left\vert C\sin\varphi\right\vert<2\left\vert B\cos\varphi\right\vert$.
   Starp šādiem $\varphi$ izvēlas $\varphi_1$ un apskata divus virzienus $\varphi=\varphi_1$ un $\varphi=-\varphi_1$. Acīmredzami $P(\varphi_1)$ un $P(-\varphi_1)$ zīmes ir pretējas. Tādējādi $\Delta f(x_0,y_0)$ nesaglabā zīmi un $P_0(x_0,y_0)$ nav funkcijas ekstrēma punkts. $\blacktriangleleft$

4.3. piezīme. 

Ja $AC-B^2=0$, tad jautājums par punktu $P_0(x_0,y_0)$ paliek atklāts.

Funkcijas $f(x,y)$ pētīšanas uz ekstrēmu shēma.

1. Atrod $\frac{\partial f}{\partial x}$ un $\frac{\partial f}{\partial y}$.
2. Atrod funkcijas stacionāros punktus, t.i., punktus, kuros $\frac{\partial f}{\partial x}=0$ un $\frac{\partial f}{\partial y}=0$.
3. Atrod $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$ un $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$.
4. Izskaitļo otrās kārtas parciālo atvasinājumu vērtības stacionārajos punktos, t.i., atrod atbilstošās vērtības $A$, $B$ un $C$.
5. Katram stacionāram punktam izskaitļo vērtību $\Delta=AC-B^2$.
6. Atkarība no $\Delta$ zīmes (nepieciešamības gadījumā arī pēc $A$ zīmes) izdara secinājumus par punktu $P_0(x_0,y_0)$.

4.1. piemērs. 

Izpētīt uz ekstrēmu funkciju

$$f(x,y)=x^3+y^3-3xy\/.$$

Atrod $f_x'=3x^2-3y$; $f_y'=3y^2-3x$. Atrisina sistēmu

$$\left\{\begin{array}{l} 3x^2-3y=0,\\ 3y^2-3x=0 \end{array}\right.$$

un iegūst funkcijas divus stacionāros punktus $(0,0)$ un $(1,1)$. Atrod $f_{x^2}''=6x$, $f_{xy}''=-3$, $f_{y^2}''=6y$. Katrā no stacionārajiem punktiem izskaitļo $A, B, C$ un $\Delta=AC-B^2$.

1. Punktā $(0,0)$:

   $A=0$; $B=-3$; $C=0$; $\Delta=0\cdot 0-(-3)^2=-9<0$. Punkts $(0,0)$ nav funkcijas ekstrēma punkts.

2. Punktā $(1,1)$:

   $A=6$; $B=-3$; $C=6$; $\Delta=6\cdot 6-(-3)^2=27>0$. Punkts $(1,1)$ ir funkcijas ekstrēma punkts, pie tam minimuma punkts, jo $A=6>0$. Tādējādi $\min f(x,y)=f(1,1)=1^3+1^3-3\cdot 1\cdot 1=-1$.

4.4. piezīme. 

$\phantom{\/}$4.2. teorēma sniedz atbildi tikai par tiem funkcijas stacionārajiem punktiem, kuros $\Delta\neq 0$. Funkcijas tie stacionārie punkti, kuros $\Delta =0$, un punkti, kuros izpildās ekstrēma nepieciešamais nosacījums, bet kas nav funkcijas stacionārie punkti, ir jāpēta īpaši. Tam nolūkam var lietot, piemēram, ekstrēma definīciju.

4.2. zīm.

4.2. piemērs. 

Izpētīt uz ekstrēmu funkciju

$$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\/.$$

Ekstrēma nepieciešamais nosacījums izpildās punktā $(0,0)$. Šajā punktā funkcija nav diferencējama ( $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$ - neeksistē). Acīmredzami $(0,0)$ ir šīs funkcijas minimuma punkts, $\min f(x,y)=f(0,0)=0$ (4.2. zīm.).

4.3. piemērs. 

Izpētīt uz ekstrēmu funkciju

$$f(x,y)=x^4+y^4-x^2-2xy-y^2\/.$$

Atrisina sistēmu

$$\left\{\begin{array}{l} 4x^3-2x-2y=0,\\ 4y^3-2x-2y=0 \end{array}\right.$$

un iegūst funkcijas trīs stacionāros punktus $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,-1)$. Atrod $f_{x^2}''=12x^2-2$, $f_{xy}''=-2$, $f_{y^2}''=12y^2-2$. Katrā no stacionārajiem punktiem izskaitļo $A, B, C$ un $\Delta$.

Punktā $(1,1)$:
$A=10$; $B=-2$; $C=10$; $\Delta=10\cdot 10-(-2)^2=96>0$. Punkts $(1,1)$ ir funkcijas minimuma punkts, $\min f(x,y)=f(1,1)=-2$. Analoģiski punkts $(-1,-1)$ ir arī funkcijas minimuma punkts,

$$\min f(x,y)=f(-1,-1)=-2.$$

Punktā $(0,0)$:
$A=-2$; $B=-2$; $C=-2$; $\Delta =0$. 4.2. teorēma nav pielietojama. Ja $x\neq 0$, tad $f(x,-x)=2x^4>0$. Ja $0<\vert x\vert<\sqrt{2}$, tad $f(x,x)=2x^4-4x^2<0$. Punktā $(0,0)$ funkcijas vērtība $f(0,0)=0$. Tātad punkta $(0,0)$ apkārtnē funkcija var pieņemt gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības un $f(0,0)=0$. Tādējādi $(0,0)$ nav funkcijas ekstrēma punkts.

4.4. piemērs. 

Izpētīt uz ekstrēmu funkciju

$$f(x,y)=x^2-y^2+2e^{-x^2}\/.$$

Atrod $f_x'=2x-4xe^{-x^2}=2x\left(1-2e^{-x^2}\right)$, $f_y'=-2y$. Atrisina sistēmu

$$\left\{\begin{array}{l} 2x\left(1-2e^{-x^2}\right)=0, \\ -2y=0. \end{array}\right.$$

Funkcijas stacionārie punkti ir $(0,0)$, $(-\sqrt{\ln 2}, 0)$, $(\sqrt{\ln 2}, 0)$. Atrod $f_{x^2}''=2-4e^{-x^2}+8x^2e^{-x^2}$; $f_{xy}''=0$; $f_{y^2}''=-2$. Atrod $A, B, C$ un $\Delta=AC-B^2$ katrā no stacionārajiem punktiem.

Punktā $(0,0)$:
$A=-2$, $B=0$, $C=-2$, $\Delta=4>0$. Tādējādi

$$\max f(x,y)=f(0,0)=2.$$

Punktos $(\pm\sqrt{\ln 2},0)$:
$A=4\ln 2$, $B=0$, $C=-2$, $\Delta=-8\ln 2<0$. Tādējādi tie nav ekstrēma punkti.

Punkts $(0,0)$ ir funkcijas vienīgais ekstrēma punkts (konkrēti - maksimuma punkts). Šajā punktā funkcija nesasniedz ne vislielāko, ne vismazāko vērtību, jo funkcijai $f(0,y)=-y^2+2\xrightarrow[y\rightarrow \infty]{\/} -\infty$ un funkcijai $f(x,0)=x^2+2e^{-x^2}\xrightarrow[x\rightarrow \infty]{\/} +\infty$. (Viena argumenta diferencējamai funkcijai vienīgā ekstrēma punkta gadījumā šajā punktā funkcija sasniedza savu vismazāko vērtību, ja tas bija minimuma punkts un vislielāko vērtību, ja tas bija maksimuma punkts).

4.5. piemērs. 

Izpētīt uz ekstrēmu funkciju

$$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xy+x-2z\/.$$

Atrod $f_x'=2x-y+1$, $f_y'=2y-x$, $f_z'=2z-2$. Atrisina sistēmu

$$\left\{\begin{array}{l} 2x-y+1=0, \\ 2y-x=0,\\ 2z-2=0. \end{array}\right.$$

Punkts $\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3},1\right)$ir vienīgais šīs funkcijas stacionārais punkts.

Ekstrēma pietiekamais nosacījums triju argumentu funkcijai netika apskatīts. Šoreiz izpēta funkcijas pieauguma zīmi šajā punktā.

$$\begin{multline*} \Delta f\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3},1\right)=\left(-\frac... ...frac{1}{2}\Delta y\right)^2+\frac{3}{4}\Delta y^2+\Delta z^2>0 \end{multline*}$$

(jebkuriem $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$, kas vienlaicīgi nav nulles). Tādējādi punkts $\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3},1\right)$ ir funkcijas minimuma punkts.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.2. Divu argumentu funkcijas vismazākās un Augstāk: 4. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU PĒTĪŠANA UZ Iepriekšējais: 4. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU PĒTĪŠANA UZ