Matemātika DU TSC
Nākamais: 4. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU PĒTĪŠANA UZ Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.10. Jautājumi

3.11. Vingrinājumi

1. Definēt punktā $P_0(x_0,y_0,z_0)$ diferencējamu funkciju $u=f(x,y,z)$ un tās diferenciāli šajā punktā.
2. Pierādīt, ka punktā diferencējamai funkcijai $u=f(x,y,z)$ eksistē parciālie atvasinājumi un tā ir nepārtraukta funkcija šajā punktā.
3. Atrast funkciju parciālos atvasinājumus
   a) $z=\ln\tg\frac{x}{y}$;
   b) $u=x^3y^2z+2x-3y+z+5$.
4. Pierādīt, ka funkcija $z=\ln\bigl(x^2+xy+y^2\bigr)$ apmierina nosacījumu $x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=2$.
5. Izskaitļot $\left\vert\begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial\rho} & \frac{\partial x... ...al y}{\partial\rho} & \frac{\partial y}{\partial\varphi} \end{array}\right\vert$, ja $x=\rho\cos\varphi$ un $y=\rho\sin\varphi$.
6. Pierādīt, ka funkcijai $z=\sqrt{x^2+y^2}$ punktā $(0,0)$ neeksistē parciālie atvasinājumi.
7. Atrast funkciju $z=f(x,y)$, ja
   a) $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x}{x^2+y^2}$;
   b) $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x^2+y^2}{x}$ un $f(1,y)=\sin y$.
   c) $\frac{\partial z}{\partial x}=6x^5y^2+\frac{1}{x}$ un $\frac{\partial z}{\partial y}=2x^6y+\cos y$.
8. Caur virsmas $z=2x^2+y^2$ punktu $M(1,2,6)$ konstruētas divas plaknes, kas paralēlas koordinātu plaknēm $xOz$ un $yOz$. Aprēķināt leņķus, kādus veido punktā $M$ konstruētās pieskares līnijām, pa kurām šīs plaknes šķeļ virsmu, ar atbilstošajām koordinātu asīm.
9. Atrast funkcijas $f(x,y)=x^2+xy-y^2$ pilno pieaugumu un diferenciāli.
10. Funkcijai $f(x,y)=x^2y$ atrast pilno pieaugumu un diferenciāli punktā $(1,2)$. Iegūtos rezultātus salīdzināt, ja
    a) $\Delta x=1,\;\Delta y=2$;
    b) $\Delta x=0,1,\;\Delta y=0,2$;
    c) $\Delta x=0,01,\;\Delta y=0,02$.
11. Pierādīt, ka funkcijām $u=u(x,y)$ un $v=v(x,y)$ izpildās
    a) $d(u+v)=du+dv$;
    b) $d(uv)=vdu+udv$;
    c) $d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}$.
12. Atrast $df(1,1)$, ja $f(x,y)=\frac{x}{y^2}$.
13. Atrast $df(3,4,5)$, ja $f(x,y,z)=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}$.
14. Sniegt ģeometrisko interpretāciju funkcijas $S=xy$ pilnajam pieaugumam un diferenciālim. (Apskatīt taisnstūri, kura malas ir $x$ un $y$).
15. Uzrakstīt aptuveno vienādību triju argumentu funkcijas vērtību izskaitļošanai.
16. Noslēgta kaste, kuras ārējie izmēri ir $10$ cm, $8$ cm un $6$ cm, izgatavota no skārda, kura biezums $2$ mm. Aprēķināt tuvinātu patērētā metāla tilpuma vērtību.
17. Tuvināti izskaitļot
    a) $1,02^{3,01}$;
    b) $\sqrt{4,05^2+2,93^2}$.
18. $z=e^{3x+2y}$, kur $x=\cos t$, $y=t^2$. Atrast $\frac{dz}{dt}$.
19. $z=e^{xy}$, kur $y=\ln x$. Atrast $\frac{\partial z}{\partial x}$un $\frac{dz}{dx}$.
20. Parādīt, ka funkcija $z=\varphi\bigl(x^2+y^2\bigr)$ apmierina vienādojumu
    $y\frac{\partial z}{\partial x}-x\frac{\partial z}{\partial y}=0$.
21. $u=f(x,y,z)$, kur $y=\varphi(x)$, $z=\psi(x,y)$. Atrast $\frac{du}{dx}$.
22. Atrast funkcijas $z=2x^2-3y^2$ atvasinājumu punktā $P(1,0)$ virzienā, kas veido ar $Ox$ asi leņki $120^{\circ}$.
23. Atrast funkcijas $z=x^3-2x^2y+xy^2+1$ atvasinājumu punktā $M(1,2)$ virzienā no šī punkta uz punktu $N(4,6)$.
24. Atrast funkcijas $u=x^2-3yz+5$ atvasinājumu punktā $M(1,2,-1)$ virzienā, kas veido ar koordinātu asīm vienādus leņķus.
25. Atrast un ilustrēt ģeometriski funkcijas $z=x^2y$ gradientu punktā $P(1,1)$.
26. Atrast funkcijas $u=x^2+y^2+z^2$ gradienta punktā $(2,-2,1)$ moduli un virzienu.
27. Atrast leņķi starp funkcijas $z=\ln\frac{y}{x}$ gradientiem punktos $A\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$ un $B(1,1)$.
28. Atrast funkcijas $z=x^2+4y^2$ vislielāko izmaiņas ātrumu punktā $(2,1)$.
29. Atrast funkcijas $u=xy+yz+zx$ visus otrās kārtas parciālos atvasinājumus.
30. Parādīt, ka funkcijai $z=x^y$ izpildās $\frac{\partial^2 z} {\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}$.
31. Atrast $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$, ja $z=f(u,v)$, kur $u=x^2+y^2$, $v=xy$.
32. Atrast $d^2 z$, ja $z=e^xy$.
33. Uzrakstīt funkcijas $u=f(x,y,z)$ otrās kārtas diferenciāļa aprēķināšanas formulas (apskatīt gadījumu, kad $x,y,z$ - neatkarīgie argumenti, un gadījumu, kad $x,y,z$ - starpargumenti).
34. Atrast $d^3 z$, ja $z=e^x\cos y$.
35. Funkcijai $f(x,y)=-x^2+2xy+3y^2-6x-2y-4$ uzrakstīt Teilora formulu punkta $(-2,1)$ apkārtnē.
36. Funkcijai $f(x,y)=e^{x+y}$ uzrakstīt Teilora formulu punkta $(1,-1)$ apkārtnē. Iegūt arī atsevišķus gadījumus, kad $n=0$ un $n=1$.
37. Izmantojot Teilora formulu, tuvināti izskaitļot $(0,95)^{2,01}$. Aprēķinos izmantot tikai tos formulas locekļus, kas pēc moduļa nav mazāki par $0,01$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJU PĒTĪŠANA UZ Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.10. Jautājumi