Matemātika DU TSC
Nākamais: 3. Reālā mainīgā reālu funkciju klasifikācija Augstāk: vallievads2ht

2. Funkcijas jēdziens. Vienādas funkcijas. Funkcijas, kas uzdota ar formulu, definīcijas apgabala noteikšana

Par atbilstību sauc sakārtotu pāru $(x;y)$ patvaļīgu kopu $S$.

Pirmo elementu $x$ kopu sauc par atbilstības definīcijas apgabalu $D(S)$, bet otro elementu $y$ kopu - par atbilstības vērtību apgabalu $E(S)$.

Atbilstību $S$ sauc par viennozīmīgu, ja katram $x\in D(S)$ eksistē vienīgs $y\in E(S)$, ka $(x;y)\in S$.

2.1. definīcija. 

Par funkciju sauc katru viennozīmīgu atbilstību.

Ja $f$ ir funkcija un $x\in D(f)$, tad $y=f(x)$ sauc par funkcijas $f$ vērtību punktā $x$ (skat.¹).

Divas funkcijas $f$ un $g$ uzskata par vienādām, ja

1. tām ir vienādi definīcijas apgabali,
2. katram $x\in D(f)=D(g)$ izpildās $f(x)=g(x)$.

Par funkcijas $f$ grafiku sauc kopu

$$\Gamma_f=\bigl\{(x;y)\bigl\vert\;x\in D(f),\;y=f(x)\bigr\}\/.$$

2.1. piemrs. 

$f(x)=x^2+2x-1$.
Atrast $f(0)$, $f(a+1)$, $f(a)+1$, $f\left(\frac{1}{x}\right)$, $\frac{1}{f(x)}$, $f\bigl(f(x)\bigr)$.

Ievietojot argumenta $x$ vietā 0, iegūst

$$f(0)=0^2+2\cdot 0-1=-1\/.$$

Analogi

$$f(a+1)=(a+1)^2+2(a+1)-1=a^2+4a+2,$$

$$f(a)+1=a^2+2a-1+1=a^2+2a,$$

$$f\left(\frac{1}{x}\right)=\left(\frac{1}{x}\right)^2+2\cdot\frac{1}{x}-1= \frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}-1,$$

$$\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{x^2+2x-1}.$$

Lai atrastu $f\bigl(f(x)\bigr)$, argumenta $x$ vietā ievieto $x^2+2x-1$.

$$f\bigl(f(x)\bigr)=(x^2+2x-1)^2+2(x^2+2x-1)-1=x^4+4x^3+2x^2-4x+1\/.$$

2.2. piemrs. 

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x^2+1, & \text{ja} & x<-2, \\ \s... ... \text{ja} & -2<x<2, \\ \lg x, & \text{ja} & x\geq 2. \\ \end{array}\right.$$

Atrast $f(-5),\;f(-2),\;f(0),\;f(2),\;f(10)$.

Funkcija ir definēta ar 3 formulām visiem $x\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.

Tā kā $-5\in(-\infty;-2)$, tad $f(-5)=(-5)^2+1=26$.

Skaitlis $-2\not\in D(f)$, t.i., funkcija šajā punktā nav definēta, un funkcijas vērtība punktā $-2$ neeksistē.

Skaitlis $0\in (-2;2)$, tāpēc $f(0)=\sin 0=0$.

Skaitlis $10\in[2,+\infty)$, tāpēc $f(10)=\lg 10=1$.

2.3. piemrs. 

Noskaidrot, vai dotās funkcijas ir vienādas.

1. $f(x)=\frac{x^2-1}{x+1},\;\;\varphi(x)=x-1$,
2. $f(x)=x+1,\;\;\varphi(x)=\sqrt{(x+1)^2}$,
3. $f(x)=\lg(1-x^2),\;\;\varphi(x)=\lg(1+x)+\lg(1-x)$.

1. $D(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\},\;\;D(\varphi)=\mathbb{R}$.
   Tā kā $D(f)\neq D(\varphi)$, tad dotās funkcijas nav vienādas.
2. $D(f)=D(\varphi)=\mathbb{R}$,
   $f(x)\neq\varphi(x)$ visiem $x\in(-\infty;-1)$, piemēram, $f(-2)=-1$, $\varphi(-2)=1$. Tātad dotās funkcijas nav vienādas.
3. Nosaka funkciju definīcijas apgabalus.

   $$D(f):\;\; 1-x^2>0,$$

   $$x^2<1,$$

   $$-1<x<1.$$

   
   

   $$D(\varphi):\;\; \left\{\begin{array}{l} 1+x>0, \\ 1-x>0, \\ \end{array}\right.$$

   $$\left\{\begin{array}{l} x>-1, \\ x<1, \\ \end{array}\right.$$

   $$-1<x<1.$$

   
   
   Tātad $D(f)=D(\varphi)=(-1;1)$.
   Visiem $x\in(-1;1)$ ir spēkā
   $$f(x)=\lg(1-x^2)=\lg\bigl((1-x)(1+x)\bigr)=\lg(1-x)+\lg(1+x)=\varphi(x)\/.$$
   Tātad dotās funkcijas ir vienādas.

Auditorijā risināmie uzdevumi

1. $f(x)=\frac{x}{3}+\sin 2x$. Atrast $f(3x),\;f\left(\frac{1}{x}\right),\;\frac{1}{f(x)},\;f(x+1),\;f(x)+1$.
2. $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 4+x, & \text{ja} & -1\leq x\leq 0, \\ 2^x & \text{ja} & 0<x<+\infty. \\ \end{array}\right.$
   
   Atrast $f(-2),\;f(-1),\;f(0),\;f(1)$.
3. $f(x)=x^2+\frac{1}{x^2}-2x-\frac{2}{x}$. Parādīt, ka $f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x)$.
4. $\varphi(t)=\sqrt[3]{1-t^3}$. Parādīt, ka $\varphi\bigl(\varphi(t)\bigr)=t$.
5. Noteikt, kuras no dotajām funkcijām ir vienādas.

   $$( )\;\;f(x) =\sqrt{x}\sqrt{x-1}, \quad\varphi(x) =\sqrt{x(x-1)},$$

   $$( )\;\;f(x) =x, \quad\varphi(x) =\vert x\vert,$$

   $$( )\;\;f(x) =\lg x^2, \quad\varphi(x) =2\lg x,$$

   $$( )\;\;f(x) =\lg(x^2-4x), \quad\varphi(x) =\lg x+\lg(x-4),$$

   $$( )\;\;f(x) =\frac{x-1}{x^3-1}, \quad\varphi(x) =\frac{1}{x^2+x+1},$$

   $$( )\;\;f(x) =1, \quad\varphi(x) =\sin^2x+\cos^2x.$$

   
   

Mājas darba uzdevumi

1. $\varphi(x)=\lg x^2$. Aprēķināt $\varphi(-10)$, $\varphi(-0,001)$, $\varphi(100)$.
2. $F(y)=\sin\frac{\pi}{y}+\cos\pi y$. Aprēķināt $F(1)$, $F(2)$, $F(3)$, $F(6)$.
3. $u(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x, & \text{ja} & x<-2, \\ 1, & \text{ja} & \vert x\vert\leq 2, \\ 5-x^2 & \text{ja} & x>2. \\ \end{array}\right.$
   
   Atrast $u(-3)$, $u(-2)$, $u(0)$, $u(2)$, $u(3)$.
4. $f(x)=x^2-2x+3$. Atrisināt vienādojumus.
   1. $f(x)=f(-1)$,
   2. $f(x)=f(0)$,
   3. $f(x+1)=f(1)$.
5. Noteikt, kuras no dotajām funkcijām ir vienādas.

   $$( )\;\;f(x) =x, \quad\varphi(x) =\sqrt{x^2};$$

   $$( )\;\;f(x) =\lg(2x-x^2), \quad\varphi(x) =\lg(2-x)+\lg x;$$

   $$( )\;\;f(x) =\lg 10^{1-x}, \quad\varphi(x) =1-x;$$

   $$( )\;\;f(x) =3^{\log_3x^2}, \quad\varphi(x) =x^2;$$

   $$( )\;\;f(x) =\lg\frac{1-x}{1+x}, \quad\varphi(x) =\lg(1-x)-\lg(1+x).$$

   
   

Definīcijas apgabala noteikšana analītiski definētām funkcijām

Visbiežāk funkciju uzdod analītiski, t.i., ar formulu. Tādā gadījumā funkcijas definīcijas apgabalu īpaši nenorāda. Ar definīcijas apgabalu saprot tās argumenta vērtības, ar kurām formulai ir jēga. Piemēram,

1. $f(x)=\frac{1}{x^n}$, $n\in\mathbb{N}$, tad $x\neq 0$ jeb $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$;
2. $f(x)=\sqrt[m]{x}$, $m$ ir pāra skaitlis, tad $x\geq 0$ jeb $x\in[0;+\infty)$;
3. $f(x)=\log_ax$, tad $x>0$ jeb $x\in(0;+\infty)$;
4. $f(x)=\tg x$, tad $x\neq\frac{\pi}{2}+\pi k$ jeb $x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}\right\}$;
5. $f(x)=\ctg x$, tad $x\neq\pi k$ jeb $x\in\mathbb{R}\setminus\{\pi k,\;k\in\mathbb{Z}\}$;
6. $f(x)=\arcsin x$, tad $\vert x\vert\leq 1$ jeb $x\in[-1;1]$;
7. $f(x)=\arccos x$, tad $\vert x\vert\leq 1$ jeb $x\in[-1;1]$.

2.4. piemrs. 

Noteikt funkcijas

$$f(x)=\sqrt{\lg\frac{5x-1}{2}}+\arcsin\frac{3x-2}{5}$$

definīcijas apgabalu.

Dotās funkcijas definīcijas apgabals ir abu saskaitāmo definīcijas apgabalu kopējā daļa.

$$\left\{\begin{array}{l} \lg\frac{5x-1}{2}\geq 0,\smallskip\\ \fra... ...kip\\ \left\vert\frac{3x-2}{5}\right\vert\leq 1, \\ \end{array}\right.\medskip \left\{\begin{array}{l} 5x\geq 3, \\ -3\leq 3x\leq 7, \\ \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l} \frac{5x-1}{2}\geq 1, \\ Vert 3x-2\vert\leq 5, \\ \end{array}\right.\medskip \left\{\begin{array}{l} x\geq\frac{3}{5}, \\ -1\leq x\leq\frac{7}{3}. \\ \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l} 5x-1\geq 2, \\ -5<3x-2\leq 5, \\ \end{array}\right.\medskip$$

Atbilde. $x\in\left[\frac{3}{5};\frac{7}{3}\right]$.

2.5. piemrs. 

Noteikt funkcijas

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{\sin 2x}}$$

definīcijas apgabalu.

Šoreiz

$$\sin 2x>0,$$

$$2\pi k<2x<\pi+2\pi k\quad (k\in\mathbb{Z}),$$

$$\pi k<x<\frac{\pi}{2}+\pi k\quad (k\in\mathbb{Z}).$$

Atbilde. $x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left(\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right)$.

2.6. piemrs. 

Noteikt funkcijas

$$f(x)=\arcctg\frac{6-7x}{5x^2+3}+\sqrt{\log_{0,3}(2x-1)}$$

definīcijas apgabalu.

Šoreiz jāatrisina nevienādību sistēma:

$$\left\{\begin{array}{l} 5x^2+3\neq 0, \\ \log_{0,3}(2x-1)\geq 0, \\ 2x-1>0, \\ \end{array}\right.\medskip \left\{\begin{array}{l} 2x-1\leq 1, \\ 2x>1, \\ \end{array}\right.\medskip$$

$$\left\{\begin{array}{c} x\leq 1, \\ x>\frac{1}{2}. \\ \end{array}\right.$$

Atbilde. $x\in\left(\frac{1}{2};1\right]$.

Auditorijā risināmie uzdevumi

Noteikt funkciju definīcijas apgabalus.

1. $f(x)=x^3-3x+2$;
2. $f(x)=\frac{x-3}{x+1}$;
3. $f(x)=\frac{1}{x^2-1}$;
4. $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$;
5. $f(x)=\sqrt{6x-8-x^2}$;
6. $f(x)=\lg\frac{5+3x}{2-5x}$;
7. $f(x)=\arccos\frac{2x}{1+x}$;
8. $f(x)=\sqrt{-x}+\frac{1}{\sqrt{2+x}}$;
9. $f(x)=\arcsin\left(\lg\frac{x}{10}\right)-\sin x$;
10. $f(x)=\frac{5x+7}{\lg(7-x)}-\frac{7}{(x+3)^2}$;
11. $f(x)=\frac{x-1}{\log_2(7x+4)}-\arccos\frac{x}{3}$;
12. $f(x)=\sqrt[3]{\lg\frac{3x-7}{5}}+3^{\frac{x}{5-x}}$;
13. $f(x)=\arcsin\frac{x^2-1}{5}-\frac{x}{x^3-2x^2}$;
14. $f(x)=\frac{3x}{\arcsin\frac{5}{x}}+\lg(x^2-36)$;
15. $f(x)=\arctg\frac{2x-7}{7x-x^2}+5\arccos\frac{5}{3x-1}$.

Mājas darba uzdevumi

Noteikt funkciju definīcijas apgabalus.

1. $f(x)=2x^2+x-3$;
2. $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sin\pi x}$;
3. $f(x)=\arcsin(1-x)+\lg(\lg x)$;
4. $f(x)=\frac{\sqrt{2x+9}}{\lg(5-x)}+\sqrt{\frac{7}{2x-3}}$;
5. $f(x)=\sqrt{\lg\frac{5x-8}{3}}-\arcctg\frac{3x}{6-x}$;
6. $f(x)=\arccos\frac{7}{x}-3\lg(81-x^2)$;
7. $f(x)=\sqrt{\log_{0,5}(7-2x)}-3^{\frac{\sin x}{5x-15}}$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3. Reālā mainīgā reālu funkciju klasifikācija Augstāk: vallievads2ht