Matemātika DU TSC
Nākamais: 2. Funkcijas jēdziens. Vienādas funkcijas. Funkcijas, Augstāk: vallievads2ht

1. Reālā skaitļa modulis

1.1. definīcija. 

Par reālā skaitļa $a$ moduli (absolūto vērtību) sauc
$\max(a,-a)$ un apzīmē $\vert a\vert$.

Tādējādi

$$\vert a\vert=\left\{\begin{array}{ccc} a, & \text{ja} & a\geq 0, \\ -a & \text{ja} & a<0. \\ \end{array}\right.$$

Moduļa īpašības.

1. $\vert a+b\vert\leq\vert a\vert+\vert b\vert$;
2. $\vert-a\vert=\vert a\vert$;
3. $\bigl\vert\vert a\vert-\vert b\vert\bigr\vert \leq\vert a-b\vert$;
4. $\vert a\vert<c$ tad un tikai tad, ja $-c<a<c$;
5. $\vert a\vert>c$ tad un tikai tad, ja $a<-c$ vai $a>c$;
6. $\vert a\cdot b\vert=\vert a\vert\cdot\vert b\vert$;
7. $\vert\frac{a}{b}\vert=\frac{\vert a\vert}{\vert b\vert}$, ja $b \neq 0$.

Risinot vienādojumus un nevienādības, kas satur moduli, ir izdevīgi lietot intervālu metodi, kuras pamatā ir nepārtrauktu funkciju īpašība: ja funkcija $f$ intervālā $(a;b)$ ir nepārtraukta un nevienā šī intervāla punktā tās vērtība nav 0, tad visos intervāla punktos funkcijas vērtības ir vai nu tikai pozitīvas, vai arī tikai negatīvas. Ja pieņem, ka funkcija $f$ ir nepārtraukta intervālā $I$ un to intervāla punktu skaits, kuros šīs funkcijas vērtības vienādas ar nulli, ir galīgs, tad šie punkti sadala intervālu $I$ apakšintervālos, pie tam katra apakšintervāla visos punktos funkcijas $f$ vērtības ir vai nu pozitīvas, vai arī negatīvas. Lai noteiktu funkcijas vērtību zīmi kādā apakšintervālā, pietiek aprēķināt funkcijas vērtību brīvi izraudzītā dotā apakšintervāla punktā.

1.1. piemrs. 

Konstruēt funkcijas $f(x)=\vert x+1\vert$ grafiku.

Šo uzdevumu var atrisināt ar vairākiem paņēmieniem.

1. paņēmiens.

Pārveido šīs funkcijas analītisko izskatu, izmantojot moduļa definīciju. Punkts $x=-1$ sadala koordinātu taisni divos intervālos. Katrā no šiem intervāliem (1.1. zīm.) nosaka funkcijas izskatu.

1.1. zīm.

Intervālā $(-\infty;-1)$ ir spēkā $x+1<0$, tāpēc

$$\vert x+1\vert=-(x+1)$$

un

$$f(x)=-(x+1)\/.$$

Intervālā $[-1;+\infty)$ ir spēkā $x+1\geq 0$, tāpēc

$$f(x)=x+1\/.$$

Tātad doto funkciju var uzrakstīt šādi:

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} -x-1, & \text{ja} & x<-1, \\ x+1, & \text{ja} & x\geq-1. \\ \end{array}\right.$$

Konstruē šīs funkcijas grafiku (1.2. zīm).

1.2. zīm.

2. paņēmiens.

Konstruē funkcijas $f(x)=x+1$ grafiku un grafika to daļu, kas atrodas zem $Ox$ ass, attēlo simetriski attiecībā pret $Ox$ asi (1.3. zīm.).

1.3. zīm.

3. paņēmiens.

Funkcijas $f(x)=\vert x+1\vert$ grafiku var iegūt no funkcijas $f(x)=\vert x\vert$ grafika, veicot paralēlo pārnesi par vienu vienību pa kreisi (1.4. zīm.).

1.4. zīm.

1.2. piemrs. 

Konstruēt funkcijas $f(x)=\vert x+1\vert+\vert x-1\vert$ grafiku.

Lietojot intervālu metodi un moduļa definīciju, pārveido dotās funkcijas analītisko izskatu.

1.5. zīm.

1. Ja $x<-1$, tad $x+1<0$ un $x-1<0$, tāpēc $\vert x+1\vert=-(x+1)$ un $\vert x-1\vert=-(x-1)$.
   Tātad
   $$f(x)=-(x+1)-(x-1)=-2x\/.$$

2. Ja $-1\leq x<1$, tad $x+1\geq 0$ un $x-1<0$, tāpēc $\vert x+1\vert=x+1$ un $\vert x-1\vert=-(x-1)$.
   Tātad
   $$f(x)=x+1-(x-1)=2\/.$$

3. Ja $x\geq1$, tad $x+1>0$ un $x-1\geq 0$, tāpēc $\vert x+1\vert=x+1$ un $\vert x-1\vert=x-1$.
   Tātad
   $$f(x)=x+1+x-1=2x\/.$$

Ņemot vērā funkcijas analītisko izskatu katrā no minētajiem intervāliem, var rakstīt:

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} -2x, & \text{ja} & x<-1, \\ 2, & \text{ja} & -1\leq x<1, \\ 2x, & \text{ja} & x\geq 1. \\ \end{array}\right.$$

Konstruē šīs funkcijas grafiku (1.6. zīm.).

1.6. zīm.

1.3. piemrs. 

Atrisināt vienādojumu $\vert x+1\vert-\vert x+2\vert+\vert x-3\vert=5$.

Punkti $x=-2$, $x=-1$ un $x=3$ koordinātu taisni sadala četros intervālos (1.7. zīm.). Katrā no šiem intervāliem katra no izteiksmēm, kas atrodas zem moduļa zīmes, saglabā savu zīmi.

1.7. zīm.

Lietojot moduļa definīciju, katrā no šiem intervāliem doto vienādojumu var pārrakstīt šādi:

$$1.\;\; \left\{\begin{array}{l} x<-2, \\ -(x+1)+x+2-(x-3)=5, \\ \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l} x<-2, \\ x=-1. \\ \end{array}\right.$$

$$x\in\emptyset,\; \; x=-1\; .$$

$$2.\;\; \left\{\begin{array}{l} -2\leq x<-1, \\ -(x+1)-(x+2)-(x-3)=5 \\ \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l} -2\leq x<-1, \\ x=-\frac{5}{3}, \\ \end{array}\right.$$

$$x=-\frac{5}{3}.$$

$$3.\; \left\{\begin{array}{l} -1\leq x<3, \\ x+1-(x+2)-(x-3)=5, \\ \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l} -1\leq x<3, \\ x=-3. \\ \end{array}\right.$$

$$x\in\emptyset,\; \; x=-3\; .$$

$$4.\;\; \left\{\begin{array}{l} x\geq 3, \\ x+1-(x+2)+x-3=5, \\ \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l} x\geq 3, \\ x=9. \\ \end{array}\right.$$

$$x=9.$$

$$\textit{Atbilde}. \;x\in\left\{-\frac{5}{3};9\right\}.$$

1.4. piemrs. 

Atrisināt nevienādību $\vert 3x-5\vert-\vert 2x+3\vert>0$.

Punkti $x=-\frac{3}{2}$ un $x=\frac{5}{3}$ sadala koordinātu taisni trīs intervālos (1.8. zīm.).

1.8. zīm.

Pārraksta doto nevienādību katrā no šiem intervāliem.

$$1.\;\; \left\{\begin{array}{l} x<-\frac{3}{2}, \\ -(3x-5)+(2x+3)>0, \\ \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l} x<-\frac{3}{2}, \\ x<8. \\ \end{array}\right.$$

$$x<-\frac{3}{2},\; \; x\in\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right).$$

$$2.\;\; \left\{\begin{array}{l} -\frac{3}{2}\leq x<\frac{5}{3}, \\ -(3x-5)-(2x+3)>0, \\ \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l} -\frac{3}{2}\leq x<\frac{5}{3}, \\ x<\frac{2}{5}, \\ \end{array}\right.$$

$$-\frac{3}{2}\leq x<\frac{2}{5}.$$

$$x\in\left[-\frac{3}{2};\frac{2}{5}\right).$$

$$3.\;\; \left\{\begin{array}{l} x\geq\frac{5}{3}, \\ 3x-5-(2x+3)>0, \\ \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l} x\geq\frac{5}{3}, \\ x>8. \\ \end{array}\right.$$

$$x>8,\; \; x\in(8;+\infty).$$

Lai uzrakstītu atbildi, apvieno iegūtos rezultātus uz koordinātu taisnes (1.9. zīm.).

1.9. zīm.

Atbilde. $x\in\left(-\infty;\frac{2}{5}\right)\cup(8;+\infty)$.

1.5. piemrs. 

Atrisināt nevienādību $\vert 1-2x\vert<3$.

Doto nevienādību var atrisināt, izmantojot moduļa 4. īpašību.

$$-3<1-2x<3,$$

$$-4<-2x<2,$$

$$-1<x<2.$$

Atbilde. $x\in(-1;2)$.

1.6. piemrs. 

Atrisināt nevienādību $\vert 3x-8\vert\geq 4$.

Doto nevienādību var atrisināt, izmantojot moduļa 5. īpašību.

$$3x-8\geq 4\;\; 3x -8\leq -4,$$

$$3x\geq 12 3x \leq 4,$$

$$x\geq 4 x \leq\frac{4}{3},$$

$$x\in[4;+\infty) x \in\left(-\infty;\frac{4}{3}\right].$$

Atbilde. $x\in\left(-\infty;\frac{4}{3}\right]\cup[4;+\infty)$.

1.7. piemrs. 

Atrisināt vienādojumu $\vert\sin x\vert-\sin x=2$.

1. Ja $\sin x\geq 0$, tad $\vert\sin x\vert=\sin x$, tāpēc
   $\left\{\begin{array}{l} \sin x\geq 0, \\ \sin x-\sin x=2, \\ \end{array}\right.$
   
   $x\in\emptyset$.
2. Ja $\sin x<0$, tad $\vert\sin x\vert=-\sin x$, tāpēc
   $\left\{\begin{array}{l} \sin x<0, \\ -\sin x-\sin x=2, \\ \end{array}\right.$
   
   $\left\{\begin{array}{l} \sin x<0, \\ \sin x=-1, \\ \end{array}\right.$
   
   $\sin x=-1$.
   
   $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;\;n\in\mathbb{Z}$.

Atbilde. $x\in\left\{-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;\;n\in\mathbb{Z}\right\}$.

Auditorijā risināmie uzdevumi

1. Konstruēt grafikus funkcijām
   1. $f(x)=x-\vert 3x+1\vert-2$,
   2. $f(x)=5\vert x\vert-\vert 1-x\vert$,
   3. $f(x)=\vert\cos x\vert+1$.
2. Atrisināt vienādojumus
   1. $\vert 2x-3\vert=2x-3$,
   2. $\vert\cos x\vert=\cos x$,
   3. $\vert x\vert=x+3$,
   4. $\vert x-3\vert+\vert x+1\vert=4$,
   5. $2\vert 3-2x\vert-x-2=x$.
3. Atrisināt nevienādības
   1. $\vert 2x-4\vert\geq 6$,
   2. $\vert 1+x\vert\leq 2$,
   3. $\vert x-1\vert-\vert x+4\vert>0$,
   4. $\vert x+3\vert-\vert x+1\vert<2$,
   5. $\left\vert\frac{x}{x+1}\right\vert>\frac{x}{x+1}$,
   6. $\left\vert\frac{x+2}{x-1}\right\vert>3$,
   7. $2\sqrt{x^2}\geq(x-1)^2+2$,
   8. $\left\vert\frac{2-3\vert x\vert}{1+\vert x\vert}\right\vert<1$.

Mājas darba uzdevumi

1. Konstruēt grafikus funkcijām
   1. $f(x)=\vert 2x-1\vert+3\vert x\vert$,
   2. $f(x)=\vert 4-x\vert-2\vert 1-x\vert+3$,
   3. $f(x)=\vert\sin x\vert-2$.
2. Atrisināt vienādojumus
   1. $x-\vert 3x-1\vert=3$,
   2. $\vert 2x-5\vert-\vert 3x+6\vert=6$,
   3. $\vert\sin x\vert=\sin x$,
   4. $4\bigl(\sin^2x-\vert\cos x\vert\bigr)=1$.
3. Atrisināt nevienādības
   1. $\vert 3x-4\vert\leq 5$,
   2. $\vert x^2+3x-4\vert>x^2+3x-4$,
   3. $\vert 3x-5\vert-\vert 2x+3\vert>0$,
   4. $2x^2-7\bigl(\sqrt{x}\bigr)^2\leq 4$,
   5. $\left\vert\frac{x^2-5x+4}{x^2-4}\right\vert<1$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2. Funkcijas jēdziens. Vienādas funkcijas. Funkcijas, Augstāk: vallievads2ht