Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

9. variants

1. Apskatīsim kopas $[0;1]$ apakškopu $E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuri var tikt izteikti $10$ skaitīšanas sistēmā, obligāti izmantojot katru ciparu no $1$ līdz $9$ ieskaitot. Pierādīt, ka kopa $E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \sin 3x\/,&{\rm ja}\;x\in\left[0;\f... ...}\/, \medskip\\ \cos 3x\/,&{\rm ja}\;x\in\mathcal{P}\/, \\ \end{array}\right.$$

kur $\mathcal{P}$ - Kantora kopa, $\complement\mathcal{P}=[0;1]\setminus\mathcal{P}$ - Kantora kopas papildkopa līdz kopai $[0;1]$.

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $[2;3]$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $[2;3]$?

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} \ln(x+1)\/, & \text{ja} & x\in\mat... ...sqrt[7]{x}}\/, & \text{ja} & x\in\complement\mathcal{P}\/, \ \end{array}\right.$$

kur $\mathcal{P}$ - Kantora kopa, $\complement\mathcal{P}=[0;1]\setminus\mathcal{P}$ - Kantora kopas papildkopa līdz kopai $[0;1]$.