next up previous Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

8. variants

1. Apskatīsim kopas $ [0;1]$ apakškopu $ E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuri var tikt izteikti $ 10$ skaitīšanas sistēmā, neizmantojot ciparu 0 pēc komata (izmantojot ciparu 0 pēc komata). Pierādīt, ka kopa $ E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.


2. Vai funkcija $ f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $ [0;1]$? Vai funkcija $ f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $ [0;1]$? Aprēķināt funkcijas $ f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $ [0;1]$.

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl} x\ln(x+1)\/,&{\rm ja}\;x\in\mathcal...
...$\ blakusintervālam}\\  &\text{ar garumu $\frac{1}{3^n}$}\/. \end{array}\right.$    


3. Aprēķināt funkcijas $ f$ Lebega integrāli kopā $ [2;3]$. Vai funkcija $ f$ ir summējama kopā $ [2;3]$?

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{lcc} \frac{1}{\sqrt[]{x-2}}\/, & \text{...
...{I}\/, \\  x^4\/, & \text{ja} & x\in[2;3]\cap\mathbb{Q}\/, \ \end{array}\right.$    

kur $ \mathbb{Q}$ - visu racionālo skaitļu kopa, bet $ \mathbb{I}$ - visu iracionālo skaitļu kopa.


2002-04-30