Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

8. variants

1. Apskatīsim kopas $[0;1]$ apakškopu $E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuri var tikt izteikti $10$ skaitīšanas sistēmā, neizmantojot ciparu 0 pēc komata (izmantojot ciparu 0 pēc komata). Pierādīt, ka kopa $E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} x\ln(x+1)\/,&{\rm ja}\;x\in\mathcal... ...$\ blakusintervālam}\\ &\text{ar garumu $\frac{1}{3^n}$}\/. \end{array}\right.$$

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $[2;3]$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $[2;3]$?

$$f(x)=\left\{\begin{array}{lcc} \frac{1}{\sqrt[]{x-2}}\/, & \text{... ...{I}\/, \\ x^4\/, & \text{ja} & x\in[2;3]\cap\mathbb{Q}\/, \ \end{array}\right.$$

kur $\mathbb{Q}$ - visu racionālo skaitļu kopa, bet $\mathbb{I}$ - visu iracionālo skaitļu kopa.