Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

7. variants

1. Apskatīsim kopas $[0;1]$ apakškopu $E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuri var tikt izteikti $7$ skaitīšanas sistēmā, neizmantojot ciparu $5$. Pierādīt, ka kopa $E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 10\/,&{\rm ja}\;x\in \left[0;\frac{... ...}$}\\ &\text{blakusintervālam ar garumu $\frac{1}{3^n}$}\/. \end{array}\right.$$

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $[0;1]$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $[0;1]$?

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} \frac{1}{\sqrt[]{x}}\/, & \text{ja... ...mathcal{P}\/, \\ x^2\/, & \text{ja} & x\in \mathcal{P}\/, \ \end{array}\right.$$

kur $\mathcal{P}$ - Kantora kopa.