next up previous Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

7. variants

1. Apskatīsim kopas $ [0;1]$ apakškopu $ E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuri var tikt izteikti $ 7$ skaitīšanas sistēmā, neizmantojot ciparu $ 5$. Pierādīt, ka kopa $ E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.


2. Vai funkcija $ f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $ [0;1]$? Vai funkcija $ f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $ [0;1]$? Aprēķināt funkcijas $ f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $ [0;1]$.

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 10\/,&{\rm ja}\;x\in \left[0;\frac{...
...}$}\\  &\text{blakusintervālam ar garumu $\frac{1}{3^n}$}\/. \end{array}\right.$    


3. Aprēķināt funkcijas $ f$ Lebega integrāli kopā $ [0;1]$. Vai funkcija $ f$ ir summējama kopā $ [0;1]$?

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} \frac{1}{\sqrt[]{x}}\/, & \text{ja...
...mathcal{P}\/, \\  x^2\/, & \text{ja} & x\in \mathcal{P}\/, \ \end{array}\right.$    

kur $ \mathcal{P}$ - Kantora kopa.


2002-04-30