Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

6. variants

1. Pierādīt, ka kopa

$$E=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5^n}-\frac{1}{40}; \frac{1}{5^n}+\frac{1}{40}\right)$$

ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} x^3\/,&{\rm ja}\;x\in \left[0;\frac... ...\/,\smallskip\\ 10\/,&{\rm ja}\;x\in [0;1]\cap\mathbb{Q}\/, \end{array}\right.$$

kur $\mathbb{Q}$ - visu racionālo skaitļu kopa, bet $\mathbb{I}$ - visu iracionālo skaitļu kopa.

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $(1;4]$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $(1;4]$?

$$f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}\/.$$