Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

5. variants

1. Apskatīsim kopas $[0;1]$ apakškopu $E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuri var tikt izteikti $5$ skaitīšanas sistēmā, izmantojot tikai ciparus 0, $2$, un $4$. Pierādīt, ka kopa $E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 2^x\/,&{\rm ja}\;x\in [0;1]\cap\mathbb{I}\/, \\ 1\/,&{\rm ja}\;x\in [0;1]\cap\mathbb{Q}\/, \end{array}\right.$$

kur $\mathbb{Q}$ - visu racionālo skaitļu kopa, bet $\mathbb{I}$ - visu iracionālo skaitļu kopa.

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $[1;3]$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $[1;3]$?

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}\/, & \text... ...b{I}\/, \\ x\/, & \text{ja} & x\in [1;3]\cap\mathbb{Q}\/, \ \end{array}\right.$$

kur $\mathbb{Q}$ - visu racionālo skaitļu kopa, bet $\mathbb{I}$ - visu iracionālo skaitļu kopa.