next up previous Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

4. variants

1. Apskatīsim kopas $ [0;1]$ apakškopu $ E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuru pierakstā $ 5$ skaitīšanas sistēmā pēc komata tiek izmantoti tikai cipari $ 1$, $ 2$, $ 3$ un $ 4$. Pierādīt, ka kopa $ E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.


2. Vai funkcija $ f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $ [0;1]$? Vai funkcija $ f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $ [0;1]$? Aprēķināt funkcijas $ f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $ [0;1]$.

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 10^x+1\/,&{\rm ja}\;x\in \left[0;\f...
...mplement\mathcal{P}\/,\\  0\/,&{\rm ja}\;x\in \mathcal{P}\/, \end{array}\right.$    

kur $ \mathcal{P}$ - Kantora kopa, $ \complement\mathcal{P}=[0;1]\setminus\mathcal{P}$ - Kantora kopas papildkopa līdz kopai $ [0;1]$.


3. Aprēķināt funkcijas $ f$ Lebega integrāli kopā $ (3;5]$. Vai funkcija $ f$ ir summējama kopā $ (3;5]$?

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-3}}\/.$    




2002-04-30