Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

4. variants

1. Apskatīsim kopas $[0;1]$ apakškopu $E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuru pierakstā $5$ skaitīšanas sistēmā pēc komata tiek izmantoti tikai cipari $1$, $2$, $3$ un $4$. Pierādīt, ka kopa $E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 10^x+1\/,&{\rm ja}\;x\in \left[0;\f... ...mplement\mathcal{P}\/,\\ 0\/,&{\rm ja}\;x\in \mathcal{P}\/, \end{array}\right.$$

kur $\mathcal{P}$ - Kantora kopa, $\complement\mathcal{P}=[0;1]\setminus\mathcal{P}$ - Kantora kopas papildkopa līdz kopai $[0;1]$.

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $(3;5]$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $(3;5]$?

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-3}}\/.$$