Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

3. variants

1. No nogriežņa $[0;1]$ izmet vaļēju intervālu $\left(\frac{3}{8};\frac{5}{8}\right)$; no pāri palikušajiem nogriežņiem izmet divus vaļējus intervālus ar centriem šo nogriežņu viduspunktos un kopējo garumu $\frac{1}{8}$; no pāri palikušajiem nogriežņiem izmet četrus vaļējus intervālus ar centriem šo nogriežņu viduspunktos un kopējo garumu $\frac{1}{16}$ u.t.t. Ar $F$ apzīmēsim kopu, kas paliek pāri no nogriežņa $[0;1]$, bezgalīgi turpinot šo konstrukciju. Pierādīt, ka kopa $F$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{rl} \cos x\/,&{\rm ja}\;x\in \mathcal{P... ...}$}\\ &\text{blakusintervālam ar garumu $\frac{1}{3^n}$}\/. \end{array}\right.$$

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $[4;5)$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $[4;5)$?

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{5-x}}\/.$$