Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

2. variants

1. Apskatīsim kopas $[0;1]$ apakškopu $E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuri var tikt izteikti $2$ skaitīšanas sistēmā tā, ka visās pāra pozīcijās atrodas vieninieki. Pierādīt, ka kopa $E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \sin 2x\/,&{\rm ja}\;x\in \left[0;\... ...nt\mathcal{P}\/,\\ \cos 5x\/,&{\rm ja}\;x\in \mathcal{P}\/, \end{array}\right.$$

kur $\mathcal{P}$ - Kantora kopa, $\complement\mathcal{P}=[0;1]\setminus\mathcal{P}$ - Kantora kopas papildkopa līdz kopai $[0;1]$.

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $[0;1]$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $[0;1]$?

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} 10\/, & \text{ja} & x\in\mathcal{P... ...t[5]{x}}\/, & \text{ja} & x\in[0;1]\setminus\mathcal{P}\/. \ \end{array}\right.$$