Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

10. variants

1. Apskatīsim kopas $[0;1]$ apakškopu $E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuri var tikt izteikti $7$ skaitīšanas sistēmā, pēc komata neizmantojot ciparus 0 un $5$. Pierādīt, ka kopa $E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{rl} 2^x\/,&{\rm ja}\;x\in \mathcal{P}\/... ...}$}\\ &\text{blakusintervālam ar garumu $\frac{1}{3^n}$}\/. \end{array}\right.$$

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $(-5;0)$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $(-5;0)$?

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{5+x}}\/.$$