Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

11. variants

1. Apskatīsim kopas $[0;1]$ apakškopu $E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuri var tikt izteikti $2$ skaitīšanas sistēmā tā, ka visās nepāra pozīcijās atrodas vieninieki. Pierādīt, ka kopa $E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 2x+1\/,&{\rm ja}\;x\in\left[0;\frac... ...thcal{P}\/,\medskip\\ 1\/,&{\rm ja}\;x\in\mathcal{P}\/, \\ \end{array}\right.$$

kur $\mathcal{P}$ - Kantora kopa, $\complement\mathcal{P}=[0;1]\setminus\mathcal{P}$ - Kantora kopas papildkopa līdz kopai $[0;1]$.

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $(-3;-2]$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $(-3;-2]$?

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3+x}}\/.$$