Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

12. variants

1. No nogriežņa $[0;1]$ izmet vaļēju intervālu $\left(\frac{7}{16};\frac{9}{16}\right)$; no pāri palikušajiem nogriežņiem izmet divus vaļējus intervālus ar centriem šo nogriežņu viduspunktos un kopējo garumu $\frac{1}{16}$; no pāri palikušajiem nogriežņiem izmet četrus vaļējus intervālus ar centriem šo nogriežņu viduspunktos un kopējo garumu $\frac{1}{32}$ u.t.t. Ar $F$ apzīmēsim kopu, kas paliek pāri no nogriežņa $[0;1]$, bezgalīgi turpinot šo konstrukciju. Pierādīt, ka kopa $F$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} xe^{x}\/,&{\rm ja}\;x\in [0;1]\cap\... ...\smallskip\\ e^{x}\/,&{\rm ja}\;x\in [0;1]\cap\mathbb{Q}\/, \end{array}\right.$$

kur $\mathbb{Q}$ - visu racionālo skaitļu kopa, bet $\mathbb{I}$ - visu iracionālo skaitļu kopa.

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $[-2;-1]$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $[-2;-1]$?

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{1}{\sqrt[3]{x+2}}\/,&{\rm ja}... ...,\smallskip\\ 2x\/,&{\rm ja}\;x\in [-2;-1]\cap\mathbb{Q}\/, \end{array}\right.$$

kur $\mathbb{Q}$ - visu racionālo skaitļu kopa, bet $\mathbb{I}$ - visu iracionālo skaitļu kopa.