Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

13. variants

1. Apskatīsim kopas $[0;1]$ apakškopu $E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuri var tikt izteikti $10$ skaitīšanas sistēmā, pēc komata neizmantojot ciparus 0 un $9$. Pierādīt, ka kopa $E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} x^2+1\/,&{\rm ja}\;x\in \left[0;\fr... ...\smallskip\\ 5^{x}\/,&{\rm ja}\;x\in [0;1]\cap\mathbb{Q}\/, \end{array}\right.$$

kur $\mathbb{Q}$ - visu racionālo skaitļu kopa, bet $\mathbb{I}$ - visu iracionālo skaitļu kopa.

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $[1;2)$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $[1;2)$?

$$f(x)=\frac{3}{(x-2)^4}\/.$$