Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

14. variants

1. Apskatīsim kopas $[0;1]$ apakškopu $E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuri var tikt izteikti $5$ skaitīšanas sistēmā, pēc komata neizmantojot ciparus 0, $2$ un $4$. Pierādīt, ka kopa $E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 25\sin\pi x\/,&{\rm ja}\;x\in \left... ...}$}\\ &\text{blakusintervālam ar garumu $\frac{1}{3^n}$}\/. \end{array}\right.$$

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $[0;1]$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $[0;1]$?

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\/, & \text{j... ...{P}\/,\medskip\\ x^3\/, & \text{ja} & x\in \mathcal{P}\/, \ \end{array}\right.$$

kur $\mathcal{P}$ - Kantora kopa.