Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

15. variants

1. Pierādīt, ka kopa

$$E=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3^n}-\frac{1}{20}; \frac{1}{3^n}+\frac{1}{20}\right)$$

ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \sin 5x\/,&{\rm ja}\;x\in \left[0;\... ...cal{P}\/,\medskip\\ \cos 5x\/,&{\rm ja}\;x\in\mathcal{P}\/, \end{array}\right.$$

kur $\mathcal{P}$ - Kantora kopa, $\complement\mathcal{P}=[0;1]\setminus\mathcal{P}$ - Kantora kopas papildkopa līdz kopai $[0;1]$.

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $[0;1]$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $[0;1]$?

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} 10x^2\/, & \text{ja} & x\in \mathc... ...t[7]{x}}\/, & \text{ja} & x\in[0;1]\setminus\mathcal{P}\/, \ \end{array}\right.$$

kur $\mathcal{P}$ - Kantora kopa.