Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

16. variants

1. Apskatīsim kopas $[0;1]$ apakškopu $E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuri var tikt izteikti $2$ skaitīšanas sistēmā tā, ka visās nepāra pozīcijās atrodas nulles. Pierādīt, ka kopa $E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \lg x\/,&{\rm ja}\;x\in \mathcal{P}... ...}$}\\ &\text{blakusintervālam ar garumu $\frac{1}{3^n}$}\/. \end{array}\right.$$

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $[6;7)$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $[6;7)$?

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{7-x}}\/.$$