Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

17. variants

1. Apskatīsim kopas $[0;1]$ apakškopu $E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuri var tikt izteikti $5$ skaitīšanas sistēmā, pēc komata izmantojot tikai ciparus $1$ un $3$. Pierādīt, ka kopa $E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0\/,&{\rm ja}\;x\in \mathcal{P}\/, ... ...mathcal{P}$}\\ &\text{blakusintervālam $(\alpha;\beta)$}\/. \end{array}\right.$$

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $(0;5]$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $(0;5]$?

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\/.$$