Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

18. variants

1. Apskatīsim kopas $[0;1]$ apakškopu $E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuri var tikt izteikti $10$ skaitīšanas sistēmā, neizmantojot ciparu $9$ pēc komata (izmantojot ciparu $9$ pēc komata). Pierādīt, ka kopa $E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 10^{x}\/,&{\rm ja}\;x\in \mathcal{P... ...mathcal{P}$}\\ &\text{blakusintervālam $(\alpha;\beta)$}\/. \end{array}\right.$$

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $(0;2]$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $(0;2]$?

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}\/.$$