Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

19. variants

1. Apskatīsim kopas $[0;1]$ apakškopu $E$, kas sastāv no visiem tiem skaitļiem, kuri var tikt izteikti $2$ skaitīšanas sistēmā tā, ka visās pāra pozīcijās atrodas nulles. Pierādīt, ka kopa $E$ ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

Funkcija $f$ ir definēta šādi: patvaļīgā Kantora kopas $\mathcal{P}$ punktā $x$ funkcijas $f$ vrtba $f(x)=\sin x$, savukārt funkcijas $f$ grafiks Kantora kopas patvag blakusintervl ir vienādsānu trijstūra sānu malas, pie tam trijstūra pamats sakrīt ar attiecīgo blakusintervālu, bet trijstūra augstums ir vienāds ar pamata pusi.

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $(-3;0]$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $(-3;0]$?

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x+3}}\/.$$