Matemātika DU TSC

Individuālie uzdevumi
par kursu "Lebega mērs un integrālis"

20. variants

1. Pierādīt, ka kopa

$$E=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3^{2n}}-\frac{1}{30}; \frac{1}{3^{2n}}+\frac{1}{30}\right)$$

ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru.

2. Vai funkcija $f$ ir integrējama Rīmaņa nozīmē kopā $[0;1]$? Vai funkcija $f$ ir integrējama Lebega nozīmē kopā $[0;1]$? Aprēķināt funkcijas $f$ integrāli (Rīmaņa vai Lebega) kopā $[0;1]$.

Funkcija $f$ ir definēta šādi: Kantora kopas punktos funkcijas $f$ vrtba ir vienda ar 0, Kantora kopas blakusintervlu viduspunktos funkcijas $f$ vrtba ir vienda ar $\frac{1}{2^n}$, bet uz nogrieiem $\left[a_n;\frac{a_n+b_n}{2}\right]$ un $\left[\frac{a_n+b_n}{2};b_n \right]$ funkcija $f$ ir linera, kur Kantora kopas blakusintervli $(a_n;b_n)$ ir sanumurti šdi:

$$(a_1;b_1)=\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)\/,\; (a_2;b_2)=\left(\frac{1}{9};\frac{2}{9}\right)\/,\qquad\quad\;$$

$$(a_3;b_3)=\left(\frac{7}{9};\frac{8}{9}\right)\/,\; (a_4;b_4)=\left(\frac{1}{27};\frac{2}{27}\right)\/,\;\ldots\;.$$

3. Aprēķināt funkcijas $f$ Lebega integrāli kopā $(1;3]$. Vai funkcija $f$ ir summējama kopā $(1;3]$?

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt[5]{x-1}}\/.$$