Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.4. Integrēšanas pamatmetodes Augstāk: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 1.2. Pamatintegrāļu tabula

1.3. Nenoteiktā integrāļa pamatīpašības

Izmantojot pamatintegrāļu tabulu, var integrēt tikai visvienkāršākās funkcijas.

Piemēram,

$$\int\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}=\int x^{-\frac{2}{3}}dx= \frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1}+C=3\sqrt[3]{x}+C\/.$$

Nenoteiktā integrāļa īpašības dod iespēju aprēķināt nenoteiktos integrāļus ievērojami plašākai funkciju klasei.

1. īpašība.

Nenoteiktā integrāļa atvasinājums ir vienāds ar zemintegrāļa funkciju, t.i.,

$$\boxed{\left(\int f(x)dx\right)'=f(x).}$$

$\blacktriangleright$ Šo īpašību pierāda, izmantojot nenoteiktā integrāļa definīciju un diferencēšanas likumus. Konkrēti:

$$\left(\int f(x)dx\right)'=\bigl(F(x)+C\bigr)'=F'(x)+C'=f(x)+0=f(x)\/.\blacktriangleleft$$

2ipa2. īpašība.

Nenoteiktā integrāļa diferenciālis ir vienāds ar zemintegrāļa izteiksmi, t.i.,

$$\boxed{d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx.}$$

3ipa3. īpašība.

Nenoteiktais integrālis no funkcijas $F$ atvasinājuma ir vienāds ar šo funkciju (ar precizitāti līdz konstantam saskaitāmajam $C$), t.i.,

$$\boxed{\int F'(x)dx=F(x)+C.}$$

4ipa4. īpašība.

Nenoteiktais integrālis no funkcijas $F$ diferenciāļa ir vienāds ar šo funkciju (ar precizitāti līdz konstantam saskaitāmajam $C$), t.i.,

$$\boxed{\int dF(x)=F(x)+C.}$$

1.1. piezīme. 

2ipa2., 3ipa3. un 4ipa4. īpašību pierādīt patstāvīgi.

5ipa5. īpašība.

Konstantu reizinātāju $k\neq 0$ drīkst iznest ārpus nenoteiktā integrāļa zīmes, t.i.,

$$\boxed{\int kf(x)dx=k\int f(x)dx.}$$

$\blacktriangleright$ Apzīmē funkcijas $f$ primitīvo funkciju ar $F$. Acīmredzami, $kF$ ir funkcijas $kf$ primitīvā funkcija. Saskaņā ar nenoteiktā integrāļa definīciju

$$\int kf(x)dx=kF(x)+C=k\left(F(x)+\frac{C}{k}\right)=k\int f(x)dx\/.$$

(Ja $C$ - patvaļīga konstante, tad $\frac{C}{k}$ arī ir patvaļīga konstante.) $\blacktriangleleft$

6ipa6. īpašība.

Nenoteiktais integrālis no divu funkciju $f$ un $g$ summas ir vienāds ar šo funkciju nenoteikto integrāļu summu, t.i.,

$$\boxed{\int \bigl(f(x)+g(x)\bigr)dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx.}$$

$\blacktriangleright$ Apzīmē funkciju $f$ un $g$ primitīvās funkcijas atbilstoši ar $F$ un $G$.

Acīmredzami, funkcijas $(f+g)$ primitīvā funkcija ir funkcija $(F+G)$. Saskaņā ar nenoteiktā integrāļa definīciju

$$\begin{multline*} \int f(x)dx+\int g(x)dx=\bigl(F(x)+C_1\bigr)+\bigl(G(x)+C_2\bi... ...+C_2)=\bigl(F(x)+G(x)\bigr)+C=\\ =\int \bigl(f(x)+g(x)\bigr)dx, \end{multline*}$$

kur $C_1, C_2, C$ ir patvaļīgas konstantes, pie tam $C=C_1+C_2$. $\blacktriangleleft$

No 5ipa5. un 6ipa6. īpašības seko vēl viena nenoteiktā integrāļa īpašība.

7. īpašība.

Nenoteiktais integrālis no funkciju $f_1,\ldots, f_n$ lineārās kombinācijas ir vienāds šo funkciju nenoteikto integrāļu lineāro kombināciju, t.i.,

$$\int \bigl(k_1f_1(x)+\cdots +k_nf_n(x)\bigr)dx=k_1\int f_1(x)dx+\cdots +k_n\int f_n(x)dx,$$

kur vismaz viena no konstantēm $k_1,\ldots, k_n$ nav nulle.

1.1. piemērs. 

Atrast

$$\int\left(2\sin x-2^x+\sqrt{x}\,\right)dx\/.$$

$$\begin{multline*} \int\left(2\sin x-2^x+\sqrt{x}\,\right)dx=2\int\sin x dx-\int ... ...frac{3}{2}}+C=-2\cos x-\frac{2^x}{\ln 2}+\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C. \end{multline*}$$

1.2. piemērs. 

Atrast

$$\int\left(\frac{3}{\cos^2x}-4\right)dx\/.$$

$$\int\left(\frac{3}{\cos^2x}-4\right)dx=3\int\frac{dx}{\cos^2x}-4\int dx=3\tg x-4x+C\/.$$

1.3. piemērs. 

Atrast

$$\int\frac{x\sqrt{x}+x^2-5}{x^2\sqrt{x}}\,dx\/.$$

$$\begin{multline*} \int\frac{x\sqrt{x}+x^2-5}{x^2\sqrt{x}}dx=\int\left(\frac{1}{x... ...c{5}{2}+1}+C=\ln\vert x\vert+2\sqrt{x}+\frac{10}{3x\sqrt{x}}+C. \end{multline*}$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.4. Integrēšanas pamatmetodes Augstāk: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 1.2. Pamatintegrāļu tabula