nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.2. Pamatintegrāļu tabula Augstāk: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS

1.1. Primitīvā funkcija un nenoteiktais integrālis


Diferenciālrēķinu pamatuzdevums ir dotajai funkcijai atrast atvasināto funkciju jeb atvasinājumu. Šis uzdevums ir atrisināms viennozīmīgi. Bieži nepieciešams atrisināt arī apgrieztu uzdevumu - pēc atvasinājuma atrast pašu funkciju. Izrādās, ka šis uzdevums nav atrisināms viennozīmīgi, bet ar precizitāti līdz konstantam saskaitāmajam.

Apskata divas funkcijas $ f$ un $ F$, kas ir definētas intervālā $ L$, pie tam funkcijai $ F$ šajā intervālā eksistē atvasinājums.
1.1. definīcija. 
Funkciju $ F$ sauc par funkcijas $ f$ primitīvo funkciju intervālā $ L$, ja visiem $ x\in L$ ir spēkā vienādība $ F'(x)=f(x)$.

Piemēram, $ F(x)=x^3$ ir funkcijas $ f(x)=3x^2$ primitīvā funkcija. Abas funkcijas definētas visu reālo skaitļu kopā $ \mathbb{R}$ un visiem $ x\in \mathbb{R}$ ir spēkā vienādība

$\displaystyle F'(x)=\left(x^3\right)'=3x^2=f(x).$

Acīmredzot, arī funkcija $ F(x)=x^3+5$ ir funkcijas $ f(x)=3x^2$ primitīvā funkcija. Vispār, dotās funkcijas primitīvā funkcija ir funkcija

$\displaystyle F(x)=x^3+C,$

kur $ C$ ir patvaļīga konstante.

Dotās funkcijas primitīvo funkciju atrašana ir viens no integrālrēķinu pamatuzdevumiem.

Funkcijas $ f$ divas primitīvās funkcijas viena no otras var atšķirties tikai ar konstantu saskaitāmo (Pierādīt patstāvīgi).
1.2. definīcija. 
Funkcijas $ f$ primitīvās funkcijas vispārīgo veidu
$ F(x)+C$, kur $ F$ ir funkcijas $ f$ kāda primitīvā funkcija, bet $ C$ ir patvaļīga konstante, sauc par funkcijas $ f$ nenoteikto integrāli un apzīmē ar simbolu $ \int f(x)dx$, t.i.,

$\displaystyle \boxed{\int f(x)\/dx=F(x)+C.}$

Šajā formulā

$ f$ sauc par zemintegrāļa funkciju,

$ f(x)dx$ - par zemintegrāļa izteiksmi,

$ x$ - par integrēšanas mainīgo,

$ C$ - par integrēšanas konstanti.

Simbols $ \int$ ir integrēšanas darbības simbols (lasa:"integrālis ef no iks de iks").

Piemēram, $ \int 3x^2dx=x^3+C$.
1.3. definīcija. 
Nenoteiktā integrāļa jeb visu primitīvo funkciju kopas atrašanu dotajai funkcijai sauc par šīs funkcijas integrēšanu.

nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.2. Pamatintegrāļu tabula Augstāk: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS

2002-11-06