Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.2. Pamatintegrāļu tabula Augstāk: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS

1.1. Primitīvā funkcija un nenoteiktais integrālis

Diferenciālrēķinu pamatuzdevums ir dotajai funkcijai atrast atvasināto funkciju jeb atvasinājumu. Šis uzdevums ir atrisināms viennozīmīgi. Bieži nepieciešams atrisināt arī apgrieztu uzdevumu - pēc atvasinājuma atrast pašu funkciju. Izrādās, ka šis uzdevums nav atrisināms viennozīmīgi, bet ar precizitāti līdz konstantam saskaitāmajam.

Apskata divas funkcijas $f$ un $F$, kas ir definētas intervālā $L$, pie tam funkcijai $F$ šajā intervālā eksistē atvasinājums.

1.1. definīcija. 

Funkciju $F$ sauc par funkcijas $f$ primitīvo funkciju intervālā $L$, ja visiem $x\in L$ ir spēkā vienādība $F'(x)=f(x)$.

Piemēram, $F(x)=x^3$ ir funkcijas $f(x)=3x^2$ primitīvā funkcija. Abas funkcijas definētas visu reālo skaitļu kopā $\mathbb{R}$ un visiem $x\in \mathbb{R}$ ir spēkā vienādība

$$F'(x)=\left(x^3\right)'=3x^2=f(x).$$

Acīmredzot, arī funkcija $F(x)=x^3+5$ ir funkcijas $f(x)=3x^2$ primitīvā funkcija. Vispār, dotās funkcijas primitīvā funkcija ir funkcija

$$F(x)=x^3+C,$$

kur $C$ ir patvaļīga konstante.

Dotās funkcijas primitīvo funkciju atrašana ir viens no integrālrēķinu pamatuzdevumiem.

Funkcijas $f$ divas primitīvās funkcijas viena no otras var atšķirties tikai ar konstantu saskaitāmo (Pierādīt patstāvīgi).

1.2. definīcija. 

Funkcijas $f$ primitīvās funkcijas vispārīgo veidu
$F(x)+C$, kur $F$ ir funkcijas $f$ kāda primitīvā funkcija, bet $C$ ir patvaļīga konstante, sauc par funkcijas $f$ nenoteikto integrāli un apzīmē ar simbolu $\int f(x)dx$, t.i.,

$$\boxed{\int f(x)\/dx=F(x)+C.}$$

Šajā formulā

$f$ sauc par zemintegrāļa funkciju,

$f(x)dx$ - par zemintegrāļa izteiksmi,

$x$ - par integrēšanas mainīgo,

$C$ - par integrēšanas konstanti.

Simbols $\int$ ir integrēšanas darbības simbols (lasa:"integrālis ef no iks de iks").

Piemēram, $\int 3x^2dx=x^3+C$.

1.3. definīcija. 

Nenoteiktā integrāļa jeb visu primitīvo funkciju kopas atrašanu dotajai funkcijai sauc par šīs funkcijas integrēšanu.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.2. Pamatintegrāļu tabula Augstāk: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS