Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.4. Jautājumi Augstāk: 4. PARAMETRISKI UZDOTAS FUNKCIJAS UN VEKTORFUNKCIJAS Iepriekšējais: 4.2. Līniju parametriskie vienādojumi

4.3. Reālā argumenta vektorfunkcijas

Apskatīsim reālā argumenta $t$ tādu funkciju, kas katrai $t$ vērtībai no kādas kopas $T$ pēc noteikta likuma piekārto telpas $\mathbb{R}^n$ vienu vektoru.

Šādu funkciju sauc par reālā argumenta $t$ vektorfunkciju un apzīmē $\overline{f}(t)$. Šī mainīgā vektora $\overline{f}(t)$ koordinātas ir argumenta $t$ reālas funkcijas: $f_1(t)$, $f_2(t)$, $\ldots$, $f_n(t)$ (visas šīs koordinātu funkcijas ir definētas kopā $T$).

Kā zināms, vektoru pilnīgi nosaka tā koordinātas. Tāpēc uzdot vektorfunkciju $\overline{f}(t)$ nozīmē uzdot $n$ reālas funkcijas $f_1(t)$, $f_2(t)$, $\ldots$, $f_n(t)$. Vektorfunkciju $\overline{f}(t)$ parasti pieraksta šādi:

$$\overline{f}(t)=\left(f_1(t), f_2(t), \ldots\;, f_n(t)\right)$$

jeb

$$\overline{f}(t)=f_1(t)\overline{e}_1+f_2(t)\overline{e}_2+\cdots+f_n(t)\overline{e}_n\;,$$

kur $\overline{e}_1, \overline{e}_2, \ldots, \overline{e}_n$ - koordinātu asu vienības vektori jeb orti.

Ja izvēlamies noteiktu argumenta vērtību $t_0$, tad šai vērtībai atbilst noteikts pastāvīgs (konstants) vektors

$$\overline{f}(t_0)=\left(f_1(t_0), f_2(t_0), \ldots, f_n(t_0)\right)\;.$$

(Šī vektora koordinātas ir reālie skaitļi).

4.2. definīcija. Par divu vektorfunkciju

$$\overline{f}(t)=\left(f_1(t), f_2(t), \ldots, f_n(t)\right)$$

un

$$\overline{g}(t)=\left(g_1(t), g_2(t), \ldots, g_n(t)\right)$$

summu sauc šādu vektorfunkciju

$$\left(f_1(t)+g_1(t), f_2(t)+g_2(t), \ldots, f_n(t)+g_n(t)\right)$$

un apzīmē:

$$\overline{f}(t)+\overline{g}(t)\;.$$

4.3. definīcija. Par vektorfunkcijas $\overline{f}(t)=\left(f_1(t), f_2(t), \ldots, f_n(t)\right)$ reizinājumu ar reālu skaitli $c$ sauc šādu vektorfunkciju

$$\left(cf_1(t), cf_2(t), \ldots, cf_n(t)\right)$$

un apzīmē $c\overline{f}(t)$.

4.3. piezīme. 

Analogi var definēt $n$ vektorfunkciju lineāro kombināciju.

Apskatīsim vektorfunkciju $\overline{f}(t)=\left(f_1(t), f_2(t), \ldots, f_n(t)\right)$, kas definēta punkta $t_0$ kaut kādā apkārtnē, izņemot varbūt pašu šo punktu.

4.4. definīcija. Pastāvīgu vektoru $\overline{a}=(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ sauc par vektorfunkcijas $\overline{f}(t)$ robežu punktā $t_0$, ja $\lim\limits_{t\rightarrow t_0}\left\vert\overline{f}(t)-\overline{a}\right\vert=0$.

Pieraksta $\lim\limits_{t\rightarrow t_0}\overline{f}(t)=\overline{a}$.

No divkāršām nevienādībām

$$\begin{multline*} \left\vert f_i(t)-a_i\right\vert\leq \sqrt{\left(f_1(t)-a_1\ri... ...t+\cdots+\left\vert f_n(t)-a_n\right\vert\\ (i=1, 2, \ldots, n) \end{multline*}$$

seko, ka

$$\lim\limits_{t\rightarrow t_0}\overline{f}(t)=\overline{a}\Leftri... ...\ \cdots\\ \lim\limits_{t\rightarrow t_0}f_n(t)=a_n\/.\ \end{array}\right.$$

4.5. definīcija. Vektorfunkciju $\;\overline{f}(t)\;$ sauc par nepārtrauktu punktā $\;t_0\in T$, ja $\lim\limits_{t\rightarrow t_0}\overline{f}(t)=\overline{f}(t_0)$.

Ņemot vērā sakarību, kas pastāv starp vektorfunkcijas robežu un tās koordinātu funkciju robežām, seko, ka vektorfunkcija ir nepārtraukta punktā $t_0$ tad un tikai tad, kad šajā punktā ir nepārtrauktas tās koordinātu funkcijas.

Apskatīsim punkta $t_0$ apkārtnē definētu vektorfunkciju $\overline{f}(t)$. Punkta $t_0$ apkārtnē izvēlēsimies patvaļīgu punktu $t\neq t_0$ un sastādīsim šādu attiecību

$$\frac{\overline{f}(t)-\overline{f}(t_0)}{t-t_0}\/.$$

Ja šādai attiecībai punktā $t_0$ eksistē robeža, tad šo vektoru, kuru apzīmē $\overline{f'}(t_0)$, sauc par vektorfunkcijas atvasinājumu punktā $t_0$. Pie tam vektorfunkciju $\overline{f}(t)$ sauc par diferencējamu punktā $t_0$.

Tādējādi

$$\boxed{\overline{f'}(t_0)=\lim\limits_{t\rightarrow t_0}\frac{\overline{f}(t)- \overline{f}(t_0)}{t-t_0}\;.}$$

Tā kā

$$\frac{\overline{f}(t)- \overline{f}(t_0)}{t-t_0} =\left(\frac{f_1... ..., \frac{f_2(t)-f_2(t_0)}{t-t_0}, \ldots, \frac{f_n(t)-f_n(t_0)}{t-t_0} \right),$$

tad acīmredzami

$$\overline{f'}(t_0)=\left(f'_1(t_0), f'_2(t_0), \ldots, f'_n(t_0)\right)$$

jeb

$$\overline{f'}(t_0)=f'_1(t_0)\overline{e}_1+f'_2(t_0)\overline{e}_2+ \cdots+f'_n(t_0)\overline{e}_n\;.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.4. Jautājumi Augstāk: 4. PARAMETRISKI UZDOTAS FUNKCIJAS UN VEKTORFUNKCIJAS Iepriekšējais: 4.2. Līniju parametriskie vienādojumi