Matemātika DU TSC
Nākamais: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Augstāk: 2. DIFERENCIĀLRĒĶINU PAMATTEORĒMAS Iepriekšējais: 2.7. Jautājumi

2.8. Vingrinājumi

1. Pierādīt Fermā teorēmu gadījumā, kad punktā $c$ funkcija sasniedz savu vismazāko vērtību. Sniegt ģ eometrisko interpretāciju.
2. Ar konkrētiem piemēriem parādīt, ka visi Rolla teorēmas nosacījumi ir būtiski.
3. Ar konkrētiem piemēriem parādīt, ka visi Lagranža teorēmas nosacījumi ir būtiski.
4. Šādām funkcijām uzrakstīt Lagranža formulu:
   1. $f(x)=e^x$;
   2. $f(x)=\ln x$;
   3. $f(x)=\frac{1}{x}.$
5. Pierādīt Košī teorēmu par funkciju diferenču attiecību.
6. Parādīt, ka Lagranža teorēma ir Košī teorēmas secinājums.
7. Pierādīt, ka Lopitāla teorēma ir spēkā, ja $x\rightarrow +\infty$ vai $x\rightarrow -\infty$.
8. Izmantojot Lopitāla kārtulu, aprēķināt šādas robežas:
   1. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}$;
   2. $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{\sqrt[3]{x}}$;
   3. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1-\cos x)\ctg x$;
   4. $\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\sin x\right)^{\tg x}$;
   5. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{x}{\ln x}\right)$;
   6. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}x^x$;
   7. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\ctg x)^{\frac{1}{\ln x}}$.
9. Iegūt Teilora formulu $n$ - tās pakāpes polinomam.
10. Parādīt, ka Teilora formulas atlikuma loceklis ir augstākās kārtas bezgalīgi maza funkcija salīdzinājumā ar $(x-x_0)^n$, kad $x\rightarrow x_0$.
11. Iegūt Teilora formulas atlikuma locekļa Košī formu.
12. Šādām funkcijām uzrakstīt Teilora formulu pēc $x$ pakāpēm ar atlikuma locekli Lagranža formā:
    1. $f(x)=2^x$;
    2. $f(x)=\sin x$;
    3. $f(x)=\cos x$;
    4. $f(x)=\sh x$;
    5. $f(x)=\ch x$;
    6. $f(x)=\ln(1+x)$;
    7. $f(x)=(1+x)^\alpha\quad (\alpha\neq 0,\;x>-1)$.
13. Šādām funkcijām uzrakstīt Teilora formulu pēc $x$ pakāpēm ar atlikuma locekli Košī formā:
    1. $f(x)=e^x$;
    2. $f(x)=(1+x)^\alpha\quad (\alpha\neq 0,\;x>-1)$.
14. Aprēķināt ar precizitāti $0,001$ skaitli $e$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Augstāk: 2. DIFERENCIĀLRĒĶINU PAMATTEORĒMAS Iepriekšējais: 2.7. Jautājumi