Matemātika DU TSC
Nākamais: 2. DIFERENCIĀLRĒĶINU PAMATTEORĒMAS Augstāk: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 1.9. Jautājumi

1.10. Vingrinājumi

1. Izmantojot atvasinājuma definīciju, atrast šādu funkciju atvasinājumus:
   1. $f(x)=x^3$ punktā $x_0=2$;
   2. $f(x)=\sqrt[3]{x}$ punktā $x_0=1$;
   3. $f(x)=\ln x$ punktā $x_0$;
   4. $f(x)=x^{\alpha}$;
   5. $f(x)=\sin x$;
   6. $f(x)=\cos x$;
   7. $f(x)=\tg x$;
   8. $f(x)=\ctg x$;
   9. $f(x)=e^{x}$;
   10. $f(x)=\log_ax$.
2. Konstruēt funkciju, kurai punktā eksistē bezgalīgs atvasinājums.
3. Konstruēt funkciju, kurai punktā eksistē galīgi vienpusējie atvasinājumi, bet kas nav diferencējama šajā punktā.
4. Konstruēt funkciju, kas ir nepārtraukta, bet nav diferencējama šajā punktā.
5. Minēt diferencējamu funkciju piemērus.
6. Sastādīt funkcijas $f(x)=x^3$ grafikam punktā, kura abscisa ir $x_0=-1$, novilktās pieskares un normāles vienādojumus.
7. Sastādīt funkcijas $f(x)=x^3$ pieaugumu punktā $x_0=1$ un noteikt tās diferenciāli šajā punktā.
8. Izmantojot funkcijas diferenciāli, izskaitļot $\ln 1,2$.
9. Sniegt funkcijas $f(x)=x^2$ diferenciāļa punktā $x_0=1$ ģeometrisko interpretāciju.
10. Pierādīt 1.6. teorēmu.
11. Izmantojot diferencēšanas likumus, noteikt šādu funkciju atvasinājumus:
    1. $f(x)=\ctg x$;
    2. $f(x)=\sh x$;
    3. $f(x)=\ch x$;
    4. $f(x)=\Th x$;
    5. $f(x)=\cth x$.
12. Pierādīt, ka $(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$.
13. Pierādīt, ka $d(u\pm v)=du\pm dv$;     $d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}$.
14. Izmantojot apvērstas funkcijas atvasināšanas formulu, noteikt šādu funkciju atvasinājumus:
    1. $f(x)=\log_{a}x$;
    2. $f(x)=\arccos x$;
    3. $f(x)=\arctg x$;
    4. $f(x)=\arcctg x$.
15. Sastādīt elementāro pamatfunkciju atvasinājumu tabulu pēc starpargumenta $u=u(x)$.
16. Atvasināt šādas funkcijas:
    1. $f(x)=\arctg\frac{2x}{1+x^{2}}$;
    2. $f(x)=e^{x}\sin x-\frac{\ln x}{\tg x}+2$;
    3. $f(x)=x^{x^{3}}$;
    4. $f(x)=\frac{(x+1)(2x-1)\sqrt{3x+2}}{\sqrt[3]{x}}$.
17. Noteikt šādu funkciju $n$-tās kārtas atvasinājumus:
    1. $f(x)=\ln x$;
    2. $f(x)=\cos x$;
    3. $f(x)=a^{x}$;
    4. $f(x)=e^{2x}$;
    5. $f(x)=(1+x)^{\alpha}$;
    6. $f(x)=u(x)\pm v(x)$;
    7. $f(x)=u(x)v(x)$.
18. Noteikt materiālā punkta ātrumu un paātrinājumu laika momentā $t_0=2$, ja kustības likums ir $x(t)=\frac{1}{8}t^{3}+3t^{2}+1$.
19. Izmantojot definīciju vai aprēķināšanas formulas, noteikt funkcijas $f(x)=\frac{x^{2}}{1-x}$ otrās kārtas diferenciāli un izskaitļot to punktā $x_0=2$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2. DIFERENCIĀLRĒĶINU PAMATTEORĒMAS Augstāk: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 1.9. Jautājumi