Matemātika DU TSC
Nākamais: 5.1.1. Jautājumi Augstāk: 5. PIELIKUMS Iepriekšējais: 5. PIELIKUMS

5.1. Nosacītie ekstrēmi

Kā zināms, vienādojums $x^2+y^2=1$ plaknē nosaka vienības riņķa līniju ar centru koordinātu sākuma punktā. Šis pats vienādojums telpā nosaka cilindrisku virsmu ar veiduli, kas ir paralēla aplikātu asij.

Vispārīgi, vienādojums $\varphi(x,y)=0$ plaknē nosaka kaut kādu līniju, bet telpā - cilindrisku virsmu. Funkcija $f(x,y)$ telpā nosaka kaut kādu virsmu $z=f(x,y)$, kas šķeļas ar cilindrisku virsmu $\varphi(x,y)=0$ pa telpisku līniju. Uz šīs līnijas telpā var būt minimuma un maksimuma punkti, kurus sauc par nosacītā ekstrēma punktiem.

Izvēlas punktu $(x_0,y_0)$, kas apmierina vienādojumu $\varphi(x,y)=0$ un apskata šī punkta apkārtnē definētu funkciju $f(x,y)$, kas ir nepārtraukta punktā $(x_0,y_0)$.

5.1. definīcija. 

Ja visiem $(x,y)$, kas apmierina vienādojumu $\varphi(x,y)=0$ un pieder punkta $(x_0,y_0)$ pārdurtai apkārtnei, izpildās nevienādība $f(x,y)<f(x_0,y_0)$, tad $(x_0,y_0)$ sauc funkcijas $f(x,y)$ nosacītā maksimuma punktu. Vienādojumu $\varphi(x,y)=0$ sauc par saites vienādojumu.

Analoģiski definē funkcijas $f(x,y)$ nosacītā minimuma punktu.

5.1. piezīme. 

Funkcijas $f(x,y)$ nosacītā maksimuma punkta definīcija ir līdzīga tās maksimuma punkta definīcijai. Atšķirība ir tikai tā, ka no $(x_0,y_0)$ pārdurtās apkārtnes ir jāņem tikai tie punkti $(x,y)$, kas apmierina saites vienādojumu.

Piemēram, funkcijai $f(x,y)=xy$ ekstrēma punktu nav. Ja izvēlas saites vienādojumu $y=x$, tad $(0,0)$ ir šīs funkcijas nosacītā minimuma punkts. Ja saites vienādojums ir $y=-x$, tad $(0,0)$ ir funkcijas $f(x,y)=xy$ nosacītā maksimuma punkts.

Funkcijas nosacītā ekstrēma punktu atrašanai lieto Lagranža reizinātāju metodi, kura izriet no šādas teorēmas.

5.1. teorēma. 

(Nosacītā ekstrēma punkta eksistences nepieciešamais nosacījums.)

Ja $(x_0,y_0)$ ir funkcijas $f(x,y)$ nosacītā ekstrēma punkts ar saites vienādojumu $\varphi(x,y)=0$, tad eksistē tāds skaitlis $\lambda$, ka punkts $(x_0,y_0,\lambda)$ apmierina vienādojumu sistēmu

$$\left\{\begin{array}{l} F_x'(x,y)=0, \\ F_y'(x,y)=0,\\ \varphi(x,y)=0, \end{array}\right.$$

kur $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$. Funkciju $F(x,y)$ sauc par Lagranža funkciju.

5.2. piezīme. 

Analoģiski definē triju argumentu funkcijas $f(x,y,z)$ ar saites vienādojumu $\varphi(x,y,z)=0$ nosacītos ekstrēmus. Lagranža funkcija šoreiz $F(x,y,z)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)$, bet sistēma nosacītā ekstrēma punkta atrašanai ir

$$\left\{\begin{array}{l} F_x'(x,y,z)=0, \\ F_y'(x,y,z)=0,\\ F_z'(x,y,z)=0,\\ \varphi(x,y,z)=0. \end{array}\right.$$

5.1. piemērs. 

Lodē, kuras rādiuss ir $r$, ievilkt vislielākā tilpuma paralēlskaldni.

Apzīmē ar $x,y,z$ paralēlskaldņa šķautņu garumus. Tā tilpums $V~=~xyz$, bet diagonāle $2r$, pie tam $x^2+y^2+z^2=4r^2$. Lai atrastu funkcijas $V=xyz$ nosacītā maksimuma punktu ar saites vienādojumu $x^2+y^2+z^2-4r^2=0$, sastāda Lagranža funkciju

$$F(x,y,z)=xyz+ \lambda\bigl(x^2+y^2+z^2-4r^2\bigr).$$

Atrod $F_x'=yz+2\lambda x$, $F_y'=xz+2\lambda y$, $F_z'=xy+2\lambda z$. Iegūst sistēmu

$$\left\{\begin{array}{l} yz+2\lambda x=0, \\ xz+2\lambda y=0,\\ xy+2\lambda z=0,\\ x^2+y^2+z^2-4r^2=0. \end{array}\right.$$

Šīs sistēmas atrisinājums $\lambda=0$, $x=y=z=2r\frac{\sqrt{3}}{3}$. Acīmredzami, kad $x=y=z=2r\frac{\sqrt{3}}{3}$, funkcija $V=xyz$ sasniedz vislielāko vērtību. Šī vērtība ir $V=\left(2r\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3=\frac{8\sqrt{3}}{9}r^3$, bet paralēlskaldnis ir kubs ar šķautni $2r\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 5.1.1. Jautājumi Augstāk: 5. PIELIKUMS Iepriekšējais: 5. PIELIKUMS