Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.2. Punktā nepārtraukta funkcija Augstāk: 2. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJAS ROBEŽA UN Iepriekšējais: 2. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJAS ROBEŽA UN

2.1. Vairāku argumentu funkcijas robeža

Vairāku argumentu funkciju $u=f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ bieži pieraksta kā $u=f(P)$, kur $P=P\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)$. Šāds funkcijas pieraksts ir izdevīgs, definējot funkcijas $u=f(P)$ robežu punktā $P_0=P_0\bigl(\overset{\circ}{x_1},\overset{\circ}{x_2},\ldots,\overset{\circ}{x_n}\bigr)$. (Definīcija atgādina viena argumenta funkcijas galīgās robežas definīciju punktā $a$, kur $a$ - reāls skaitlis). Attālumu starp punktiem $P$ un $P_0$ apzīmē ar $\rho(P,P_0)$^2.1. Definējot funkcijas robežu punktā $P_0$, vienojas uzskatīt, ka funkcija ir definēta šī punkta kaut kādā apkārtnē, izņemot varbūt pašu punktu $P_0$.

2.1. definīcija. 

Skaitli $b$ sauc par funkcijas $u=f(P)$ robežu punktā $P_0$, ja jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds $\delta >0$ (atkarīgs no $\varepsilon$), ka visiem $P$, kuriem $0<\rho\bigl(P,P_0\bigr)<\delta$, izpildās nevienādība $\vert f(P)-b\vert<\varepsilon$. Pieraksta:

$$\lim\limits_{P\rightarrow P_0}f(P)=b$$   jeb$$\quad \lim_{\substack{x_1\rightarrow \overset{\circ}{x_1}\\ x_2... ...dots\\ x_n\rightarrow \overset{\circ}{x_n}}}f\bigl(x_1,x_2,\ldots,x_n\bigr)=b.$$

Ja par taisnes punkta $a$ $\delta$ - apkārtni sauc vaļēju intervālu $(a-\delta, a+\delta)$, tad par plaknes punkta $P_0\bigl(x_0,y_0\bigr)$ $\delta$ - apkārtni sauc vaļēju riņķi (bez riņķa līnijas punktiem) ar centru punktā $P_0\bigl(x_0,y_0\bigr)$ un rādiusu $\delta$ (2.1. zīm.). Analoģiski par telpas punkta $P_0\bigl(x_0,y_0,z_0\bigr)$ $\delta$ - apkārtni sauc vaļēju lodi (bez sfēras punktiem) ar centru šajā punktā un rādiusu $\delta$ (2.2. zīm.).

2.1. zīm.

2.2. zīm.

Ja no punkta $P_0$ apkārtnes ir izņemts punkts $P_0$, tad šādu kopu sauc par punkta $P_0$ pārdurto apkārtni. Punkta $P_0$ $\delta$ - apkārtni var uzdot ar nevienādību $\rho\bigl(P,P_0\bigr)<\delta$, bet šī punkta pārdurto $\delta$ - apkārtni var uzdot ar divkāršu nevienādību $0<\rho\bigl(P,P_0\bigr)<\delta$.

Izmantojot punkta $P_0$ $\delta$ - apkārtni, 2.1. definīciju var formulēt šādi.

2.2. definīcija. 

Skaitli $\;b\;$ sauc par funkcijas $\;u=f(P)\;$ robežu punktā $\;P_0$, ja jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāda punkta $\;P_0\;$ pārdurtā $\;\delta$ - apkārtne, ka visiem $P$ no šīs apkārtnes izpildās nevienādība $\;\vert f(P)-b\vert<\varepsilon$.

2.1. piezīme. 

$\phantom{}$

1. No 2.2. definīcijas seko, ka $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ y\rightarrow y_0}}C=C$ (robeža no konstantes ir pati konstante), $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ y\rightarrow y_0}}x=x_0$ un $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ y\rightarrow y_0}}y=y_0$.
2. Tā kā vairāku argumentu funkcijas robežas definīcija ir analoģiska viena argumenta funkcijas galīgās robežas definīcijai, tad ir spēkā teorēmas, kas analoģiskas teorēmām par viena argumenta funkciju galīgām robežām. Pierādījumi arī ir analoģiski.

2.1. teorēma. 

(Robežas vienīgums).

Ja funkcijai $f(P)$ punktā $P_0$ eksistē robeža, tad vienīgā veidā.

2.2. teorēma. 

Ja funkcijai $f(P)$ punktā $P_0$ eksistē robeža, tad funkcija ir ierobežota šī punkta kaut kādā apkārtnē.

2.3. teorēma. 

(Par robežpāreju nevienādībās).

Ja eksistē $\lim\limits_{P\rightarrow P_0}f(P)=b$, $\lim\limits_{P\rightarrow P_0}g(P)=c$ un punkta $P_0$ kaut kādā pārdurtajā apkārtnē izpildās nevienādība $f(P)<g(P)$, tad $b\leq c$.

Sekas.

Ja eksistē $\lim\limits_{P\rightarrow P_0}f(P)$ un punktā $P_0$ kaut kādā pārdurtajā apkārtnē $f(P)>0$, tad $\lim\limits_{P\rightarrow P_0}f(P)\geq 0$.

2.4. teorēma. 

(Mainīgā starplieluma robeža).

Ja eksistē $\lim\limits_{P\rightarrow P_0}f(P)= \lim\limits_{P\rightarrow P_0}g(P)=b$ un punkta $P_0$ kaut kādā pārdurtajā apkārtnē izpildās nevienādība $f(P)\leq h(P)\leq g(P)$, tad eksistē arī $\lim\limits_{P\rightarrow P_0}h(P)$ un tā ir vienāda ar $b$.

2.5. teorēma. 

(Aritmētiskās darbības ar robežām).

Ja eksistē $\lim\limits_{P\rightarrow P_0}f(P)=b$ un $\lim\limits_{P\rightarrow P_0}g(P)=c$, tad eksistē arī robežas šo funkciju summai, starpībai, reizinājumam un dalījumam (dalījuma gadījumā $c\neq 0$), pie tam

$$\lim\limits_{P\rightarrow P_0}\left(f(P)\pm g(P)\right)=b\pm c,\;... ...g(P)\right)=bc,\; \lim\limits_{P\rightarrow P_0} \frac{f(P)}{g(P)}=\frac{b}{c}.$$

2.3. definīcija. 

Funkciju $\;u=f(P)\;$ sauc par bezgalīgi mazu, kad $\;P\rightarrow P_0$, ja $\lim\limits_{P\rightarrow P_0}f(P)=0$.

2.1. piemērs. 

Izskaitļot

1. $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 2\\ y\rightarrow 1}}\frac{x^2+y^3}{2x-3y}$;
2. $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 0}}\frac{\ln(1+2xy)}{\sin 3xy}$.

1. Izmanto 2.5. teorēmu, robežu no konstantes un to, ka $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 2\\ y\rightarrow 1}}x=2$, $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 2\\ y\rightarrow 1}}y=1$.
   $$\begin{multline*} \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 2\\ y\rightarrow 1}}\frac{... ... 2\\ y\rightarrow 1}}y}=\\ =\frac{2^2+1^3}{2\cdot 2-3\cdot 1}=5. \end{multline*}$$
   
   

2. Apzīmē $t=xy$. Ja $x\rightarrow 0$ un $y\rightarrow 0$, tad $t\rightarrow 0$.
   $$\begin{multline*} \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 0}}\frac{... ...w 0}\frac{\sin 3t}{3t}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1}=\frac{2}{3}. \end{multline*}$$
   
   

2.2. piezīme. 

Vairāku argumentu funkcijas robeža (protams, ja tā eksistē) nav atkarīga no virziena, kādā punkts $P\rightarrow P_0$ (nav svarīga arī līknes, pa kuru $P\rightarrow P_0$, forma). Ja punktam $P$ tiecoties uz punktu $P_0$ no dažādām pusēm, funkcijas $f(P)$ vērtības tiecas uz dažādiem skaitļiem, tad robeža punktā $P_0$ neeksistē.

2.2. piemērs. 

Parādīt, ka neeksistē $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 0}} \frac{xy}{x^2+y^2}$.

Lai punkts $P(x,y)$ tuvojas uz $O(0,0)$ pa taisni $y=kx$. Ja $y=kx$, tad $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 0}} \frac{xy}{x^2+y^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x\cdot kx}{x^2+k^2x^2}=\frac{k}{1+k^2}$. Acīmredzami šī vērtība $\frac{k}{1+k^2}$ ir atkarīga no taisnes $y=kx$ virziena koeficienta $k$. Tādējādi $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 0}} \frac{xy}{x^2+y^2}$ neeksistē.

2.3. piemērs. 

Izskaitļot $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 0}} \frac{x^2 y^2}{x^2+y^2}$.

Apzīmē $x=\rho\cos\varphi$ un $y=\rho\sin\varphi$, kur $\rho >0$. Tā kā $x^2+y^2=\rho^2$, tad $\rho\rightarrow 0$, kad $x\rightarrow 0$ un $y\rightarrow 0$. Neatkarīgi no leņķa $(0\leq \varphi <2\pi)$ izvēles

$$\begin{multline*} \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 0}} \fr... ...\rho\rightarrow 0}\rho^2\cos^{2}\varphi\cdot\sin^{2}\varphi=0. \end{multline*}$$

Tādējādi $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 0}} \frac{x^2 y^2}{x^2+y^2}=0$. (Šoreiz 2.5. teorēmu pielietot nedrīkst, jo $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 0}}\bigl(x^2+y^2\bigr)=0$).

2.3. piezīme. 

Paņēmienu, kurš izmantots 2.3. piemērā, bieži izmanto divu argumentu funkciju robežu izskaitļošanai.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.2. Punktā nepārtraukta funkcija Augstāk: 2. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJAS ROBEŽA UN Iepriekšējais: 2. VAIRĀKU ARGUMENTU FUNKCIJAS ROBEŽA UN