nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.13. Bolcano-Veierštrāsa teorēma Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.11. Skaitlis e

3.12. Savelkošos slēgtu intervālu princips


3.15. definīcija. 
Slēgtu intervālu virkni $ \bigl([a_n;b_n]\bigr)$ sauksim par savelkošos slēgtu intervālu virkni, ja
  1. $ [a_1;b_1]\supset[a_2;b_2]\supset\cdots\supset[a_n;b_n]\supset\cdots$;
  2. $ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0$.
3.23. teorēma. 
Savelkošos slēgtu intervālu virknei $ \bigl([a_n;b_n]\bigr)$ eksistē vienīgs kopīgs punkts.

$ \blacktriangleright$ Izveidosim virkni $ (a_n)$. Šī virkne, acīmredzami, ir nedilstoša un ierobežota no augšas, piemēram, ar $ b_1$. Eksistē galīga robeža

$\displaystyle \alpha=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=\sup a_n\/.$

Otra virkne $ (b_n)$ ir neaugoša un ierobežota no apakšas, tāpēc eksistē galīga robeža

$\displaystyle \beta=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=\inf b_n\/.$

Tā kā $ a_n\leq b_n$, tad

$\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\leq\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n\/,$

t.i., $ \alpha\leq\beta$. Saskaņā ar kopas sliekšņu definīcijām $ a_n\leq\alpha$, $ \beta\leq b_n$. Tāpēc izpildīsies nevienādība $ a_n\leq\alpha\leq\beta\leq b_n$. No šīs nevienādības seko, ka $ 0\leq\beta-\alpha\leq b_n-a_n$. Robeža no šīs nevienādības kreisās un labās puses ir nulle, tāpēc arī robeža no konstantes $ \beta-\alpha$ arī ir nulle, t.i.,

$\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\beta-\alpha)=0\/.$

Robeža no konstantes ir vienāda ar šo konstanti, tāpēc seko, ka $ \alpha=\beta=c$. Esam ieguvuši nevienādību $ a_n\leq c\leq b_n$, t.i., eksistē skaitlis $ c$, kopīgs visiem slēgtajiem intervāliem $ [a_n;b_n]$. Te arī tika pierādīts šāda kopīga skaitļa $ c$ vienīgums. $ \blacktriangleleft$

Vaļēju intervālu virknei šī teorēma nav spēkā, piemēram, virknei

$\displaystyle (0;1), \left(0;\frac{1}{2}\right), \ldots, \left(0;\frac{1}{n}\right), \ldots$

nav kopīgā punkta. Teorēma būs spēkā tikai tādai vaļēju intervālu virknei, kura katrs nākamais vaļējais intervāls stingri iekļaujas iepriekšējā, t.i.,

$\displaystyle a_n<a_{n+1}<b_{n+1}<b_n$

($ n$ - naturāls skaitlis) un kurai

$\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0\/.$

Savelkošos slēgtu intervālu principu varētu ņemt par reālu skaitļu kopas nepārtrauktības aksiomu.


nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.13. Bolcano-Veierštrāsa teorēma Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.11. Skaitlis e

2003-02-24