nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.8. Funkcijas vienpusējās robežas Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.6. Teorēma par saliktas funkcijas robežu

3.7. Teorēmas par nevienādībām


3.16. teorēma. 
Ja funkcijām $ f$ un $ g$ punktā $ x=a$ eksistē robežas, pie tam $ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)<\lim\limits_{x\rightarrow
a}g(x)$, tad eksistē punkta $ x=a$ tāda apkārtne, kurā $ f(x)<g(x)$.

$ \blacktriangleright$ Apzīmēsim ar $ A=\lim\limits_{x\rightarrow
a}f(x)$ un $ B=\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)$. Pēc dotā $ A<B$. Izvēlēsimies šo punktu $ A$ un $ B$ tādas apkārtnes $ U(A)$ un $ U(B)$, kas nešķeļas, t.i., $ U(A)\cap U(B)=\emptyset$ (3.24. zīm.). Saskaņā ar funkcijas $ f$ robežas $ A$ definīciju punkta $ A$ patvaļīgai apkārtnei, tai skaitā, apkārtnei $ U(A)$ eksistē punkta $ x=a$ apkārtne $ \overset{\circ}{U'}(a)$, ka visiem $ x\in\overset{\circ}{U'}(a)$, izpildīsies sakarība $ f(x)\in U(A)$. Līdzīgā veidā apkārtnei $ U(B)$ eksistē apkārtne $ \overset{\circ}{U''}(a)$, ka visiem $ x\in\overset{\circ}{U''}(a)$, izpildīsies sakarība $ g(x)\in
U(B)$. Apzīmēsim ar

$\displaystyle \overset{\circ}{U}(a)=\overset{\circ}{U'}(a)\cap\overset{\circ}{U''}(a)\/.$

Tagad visiem $ x\in\overset{\circ}{U}(a)$ vienlaicīgi $ f(x)\in U(A)$ un $ g(x)\in
U(B)$ (3.24. zīm.). Tā kā $ A<B$, tad visiem $ x\in\overset{\circ}U(a)$, $ f(x)<g(x)$. $ \blacktriangleleft$

\includegraphics[height=6.5cm]{ievgraf47.eps}

3.24. zīm.

Sekas.
Ja $ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)<c$ (vai $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}f(x)>c$), tad eksistē punkta $ x=a$ tāda apkārtne, kurā $ f(x)<c$ (vai $ f(x)>c$).

(Pierādīt patstāvīgi)

Apskatīsim gadījumu, kad $ c=0$. Šoreiz, ja

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)<0\; ($vai$\displaystyle \;
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)>0\/),$

tad eksistē punkta $ x=a$ tāda apkārtne, kurā $ f(x)<0$ (vai $ f(x)>0$).
3.17. teorēma. 
Ja eksistē robežas $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}f(x)$ un $ \lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)$, pie tam
$ f(x)<g(x)$ punkta $ x=a$ kaut kādā apkārtnē, tad

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\leq\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)\/.$

(Pierādīt patstāvīgi3.8)
3.18. teorēma. 
Ja punktā $ x=a$ funkcijām $ f$ un $ g$ eksistē vienādas robežas, t.i., $ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=
\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=A$ un punkta $ x=a$ kaut kādā apkārtnē izpildās nevienādība $ f(x)<h(x)<g(x)\/$, tad punktā $ x=a$ funkcijai $ h$ eksistē robeža, pie tam $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}h(x)=A$.

$ \blacktriangleright$ Saskaņā ar funkcijas $ f$ robežas $ A$ definīciju patvaļīgai punkta $ A$ apkārtnei $ U(A)$ eksistē punkta $ x=a$ tāda apkārtne $ \overset{\circ}{U'}(a)$, ka visiem $ x\in\overset{\circ}{U'}(a)$, izpildīsies sakarība $ f(x)\in U(A)$. Punkts $ A$ ir par robežu arī funkcijai $ g$, tāpēc apkārtnei $ U(A)$ eksistē punkta $ x=a$ tāda apkārtne $ \overset{\circ}{U''}(a)$, ka visiem $ x\in\overset{\circ}{U''}(a)$ izpildīsies sakarība $ g(x)\in
U(A)$. Pēc dotā visiem $ x\in U'''(a)$ izpildīsies nevienādība $ f(x)<h(x)<g(x)$. Apzīmēsim ar

$\displaystyle \overset{\circ}{U}(a)=\overset{\circ}{U'}(a)\cap\overset{\circ}{U''}(a)\cap U'''(a)\/.$

Tagad visiem $ x\in\overset{\circ}{U}(a)$ izpildīsies vienlaicīgi $ f(x)\in U(A)$ un $ g(x)\in
U(A)$. Tā kā $ h(x)$ atrodas starp $ f(x)$ un $ g(x)$, tad visiem $ x\in\overset{\circ}{U}(a)$ $ h(x)\in
U(A)$, t.i., $ \lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=A$ (3.25. zīm.). $ \blacktriangleleft$

\includegraphics[height=6cm]{ievgraf48.eps}

3.25. zīm.

Piemēram,

$\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1$

punkta $ x=0$ apkārtnē un $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\cos x=\lim\limits_{x\rightarrow
0}1=1\/$. Tāpēc

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\/.$


nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.8. Funkcijas vienpusējās robežas Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.6. Teorēma par saliktas funkcijas robežu

2003-02-24