nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.6. Teorēma par saliktas funkcijas robežu Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.4. Sinusa attiecības pret argumentu robeža

3.5. Teorēmas par funkcijas galīgajām robežām


Turpmāk vienosimies apskatīt tikai tādas funkcijas, kas definētas punkta $ x=a$ apkārtnē, izņemot varbūt pašu šo punktu. Ar punkta $ x=a$ apkārtni sapratīsim šī punkta pārdurto apkārtni.

3.5. teorēma. 
Ja eksistē galīga robeža $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}f(x)=A$ $ (a\in\mathbb{R})$, tad $ f$ ierobežota funkcija punkta $ x=a$ apkārtnē.

$ \blacktriangleright$ Saskaņā ar galīgas robežas definīciju jebkuram $ \varepsilon>0$, tai skaitā $ \varepsilon=1$, eksistē punkta $ x=a$ tāda apkārtne $ \overset{\circ}U(a)$, ka visiem $ x\in\overset{\circ}U(a)$, izpildīsies nevienādība

$\displaystyle \vert f(x)-A\vert<1\/,$

t.i.,

$\displaystyle A-1<f(x)<A+1\/.$

Tas nozīmē, ka funkcija $ f$ ierobežota punkta $ x=a$ apkārtnē $ \overset{\circ}U(a)$. $ \blacktriangleleft$

Teorēmai apgrieztais apgalvojums nav spēkā, piemēram, Dirihlē funkcija

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ccl}
0, & \text{ja} & x~- \text{iracion...
...s,} \\
1, & \text{ja} & x~- \text{racionāls skaitlis} \\
\end{array}\right.$

ir ierobežota punkta $ x=0$ apkārtnē, bet $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)$ neeksistē.
3.6. teorēma. 
Ja funkcija $ f$ ir konstanta punkta $ x=a$ apkārtnē, t.i., visiem $ x\in U(a)$, $ f(x)=k=$const, tad $ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=k$.

$ \blacktriangleright$ Jebkuram $ \varepsilon>0$ un katram $ x$ no minētās apkārtnes izpildīsies nevienādība $ \vert f(x)-k\vert=0<\varepsilon$. Tātad $ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=k$. $ \blacktriangleleft$

3.7. teorēma. 
Ja funkcijai $ f$ eksistē galīga robeža $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}f(x)=A$, tad eksistē arī robeža šīs funkcijas modulim $ \vert f\vert$, pie tam

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow
a}\vert f(x)\vert=\vert A\vert\/.$

$ \blacktriangleright$ Saskaņā ar funkcijas $ f$ robežas $ A$ definīciju jebkuram $ \varepsilon>0$ eksistē punkta $ x=a$ tāda apkārtne $ \overset{\circ}U(a)$, ka visiem $ x\in\overset{\circ}U(a)$ izpildīsies nevienādība

$\displaystyle \vert f(x)-A\vert<\varepsilon\/.$

Saskaņā ar moduļa īpašību

$\displaystyle \bigl\vert\vert f(x)\vert-\vert A\vert\bigr\vert\leq\vert f(x)-A\vert\/,$

tāpēc

$\displaystyle \bigl\vert\vert f(x)\vert-\vert A\vert\bigr\vert<\varepsilon\/;$

tas nozīmē, ka

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\vert f(a)\vert=\vert A\vert\/.\;\;\blacktriangleleft$

3.8. teorēma. 
Ja $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}f(x)=A$ $ (a\in\mathbb{R})$, tad

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)-A\bigr)=0\/.$

(Pierādīt patstāvīgi)

3.9. teorēma. 
Ja eksistē galīgas robežas

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow
a}f(x)=A_1\quad\text{un}\quad\lim\limits_{x\rightarrow
a}g(x)=A_2\/,$

tad eksistē galīga robeža arī šo funkciju summai, pie tam

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow
a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=A_1+A_2\/.$

$ \blacktriangleright$ Saskaņā ar funkcijas $ f$ robežas $ A_1$ definīciju jebkuram $ \varepsilon>0$ eksistē tāda punkta $ x=a$ apkārtne $ \overset{\circ}{U'}(a)$, ka visiem $ x\in\overset{\circ}{U'}(a)$ izpildīsies nevienādība

$\displaystyle \vert f(x)-A_1\vert<\frac{\varepsilon}{2}\/.$

Tādā pat veidā funkcijai $ g$, tam pašam $ \varepsilon>0$ eksistē apkārtne $ \overset{\circ}{U''}(a)$, ka visiem $ x\in\overset{\circ}{U''}(a)$ izpildīsies nevienādība

$\displaystyle \vert g(x)-A_2\vert<\frac{\varepsilon}{2}\/.$

Apzīmēsim ar $ \overset{\circ}U(a)=\overset{\circ}{U'}(a)\cap\overset{\circ}{U''}(a)$. Tagad visiem $ x\in\overset{\circ}{U}(a)$ šīs divas nevienādības izpildīsies vienlaicīgi.

Tāpēc

$\displaystyle \left\vert\bigl(f(x)+g(x)\bigr)-(A_1+A_2)\right\vert\leq\left\ver...
... g(x)-A_2\right\vert<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\/.$

Tas nozīmē, ka

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=A_1+A_2\/.\;\;\blacktriangleleft$

Ar matemātiskās indukcijas metodi šo teorēmu var vispārināt uz jebkura galīga skaita funkciju summu.

3.9. teorēmai apgrieztais apgalvojums nav pareizs, piemēram, funkcijām $ f(x)=1-\sin\frac{1}{x}$, $ g(x)=\sin\frac{1}{x}$ neeksistē robežas, kad $ x\rightarrow 0$, bet to summa ir konstanta un tās robeža ir viens.
3.10. teorēma. 
Ja eksistē galīga robeža $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}f(x)=A$, tad eksistē galīga robeža šīs funkcijas reizinājumam ar konstanti $ k$, pie tam

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow
a}\bigl(kf(x)\bigr)=kA\/.$

$ \blacktriangleright$ Gadījumā, kad $ k=0$, funkcija $ kf=0=$const. Robeža eksistē un, acīmredzami, izpildās teorēmā minētā vienādība.

Apskatīsim gadījumu, kad $ k\neq 0$. Saskaņā ar funkcijas $ f$ robežas $ A$ definīciju jebkuram $ \varepsilon>0$ eksistē punkta $ x=a$ tāda apkārtne $ \overset{\circ}U(a)$, ka visiem $ x\in\overset{\circ}U(a)$ izpildīsies nevienādība

$\displaystyle \vert f(x)-A\vert<\frac{\varepsilon}{\vert k\vert}\/.$

Tātad

$\displaystyle \vert kf(x)-kA\vert<\varepsilon\/,$

tas nozīmē, ka

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(kf(x)\bigr)=kA\/.\;\;\blacktriangleleft$

Ja $ k=-1$, iegūsim:

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(-f(x)\bigr)=-\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\/.$

Izmantojot vēl 3.9. teorēmu, iegūsim:

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)-\lim\limits_{x\rightarrow
a}g(x)\/.$

Apvienojot 3.9. un 3.10. teorēmu apgalvojumus, var teikt, ka robeža no divu funkciju lineārās kombinācijas ir vienāda ar to robežu lineāro kombināciju, t.i.,

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(k_1f(x)+k_2g(x)\bigr)=
k_1\lim\...
...htarrow a}f(x)+k_2\lim\limits_{x\rightarrow
a}g(x)\;\;(k_1,k_2\in\mathbb{R})\/.$

3.11. teorēma. 
Ja funkcija $ f$ definēta un ierobežota punkta $ x=a$ kaut kādā apkārtnē un funkcijai $ g$ eksistē robeža $ \lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=0$, tad eksistē robeža šo funkciju reizinājumam, pie tam

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=0\/.$

$ \blacktriangleright$ Tā kā funkcija $ f$ ierobežota punkta $ x=a$ apkārtnē $ U'(a)$, tad visiem $ x\in U'(a)$, izpildīsies nevienādība $ \vert f(x)\vert<M\;\;(M>0)$. Saskaņā ar funkcijas $ g$ robežas definīciju jebkuram $ \varepsilon>0$ eksistē punkta $ x=a$ tāda apkārtne $ \overset{\circ}{U''}(a)$, ka visiem $ x\in\overset{\circ}{U''}(a)$ izpildīsies nevienādība $ \vert g(x)\vert<\frac{\varepsilon}{M}$. Apzīmēsim ar $ \overset{\circ}U(a)=U'(a)\cap\overset{\circ}{U''}(a)$. Tagad visiem $ x\in\overset{\circ}U(a)$ abas nevienādības izpildīsies vienlaicīgi, tāpēc

$\displaystyle \vert f(x)\cdot g(x)\vert<M\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon$

un

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=0\/.\;\;\blacktriangleleft$

3.12. teorēma. 
Ja eksistē galīgas robežas $ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A_1$ un
$ \lim\limits_{x\rightarrow
a}g(x)=A_2$, tad eksistē galīga robeža šo funkciju reizinājumam, pie tam

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow
a}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=A_1A_2\/.$

$ \blacktriangleright$ Funkciju $ f$ un $ g$ reizinājumu uzrakstīsim šādi:

$\displaystyle f\cdot g=(f-A_1)g+A_1g\/.$

Tā kā $ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A_1$, tad saskaņā ar 3.8. teorēmu $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}\bigl(f(x)-A_1\bigr)=0$, bet funkcija $ g(x)$ - ierobežota, jo tai eksistē galīga robeža (skat. 3.5. teorēmu). Saskaņā ar 3.11. teorēmu

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\left(\bigl(f(x)-A_1\bigr)g(x)\right)=0\/.$

Tā kā $ A_1=$const, tad saskaņā ar 3.10. teorēmu

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(A_1g(x)\bigr)=
A_1\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=A_1A_2\/.$

Visbeidzot, saskaņā ar 3.9. teorēmu,

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=
\lim\limits_{x\...
...m\limits_{x\rightarrow a}\bigl(A_1g(x)\bigr)=0+A_1A_2=A_1A_2.\blacktriangleleft$

Ar matemātiskās indukcijas metodi šo teorēmu var vispārināt uz jebkura galīga skaita funkciju reizinājumu, tai skaitā

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)\bigr)^n=
\bigl(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\bigr)^n\;\;(n~-$   naturāls skaitlis$\displaystyle )\/.$

3.12. teorēmai apgrieztais apgalvojums nav spēkā.

3.13. teorēma. 
Ja eksistē galīga un no nulles atšķirīga robeža
$ \lim\limits_{x\rightarrow
a}f(x)=A$ $ (A\neq 0)$, tad eksistē galīga robeža funkcijai $ \frac{1}{f}$, pie tam

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{A}\/.$

$ \blacktriangleright$ Saskaņā ar 3.7. teorēmu $ \lim\limits_{x\rightarrow a}\vert f(x)\vert=\vert A\vert$. Izvēlēsimies punkta $ \vert A\vert\neq 0$ tādu apkārtni, kas nesatur punktu 0, t.i., $ \left(\vert A\vert-\varepsilon; \vert A\vert+\varepsilon\right)$, kur, piemēram, $ \varepsilon=\frac{\vert A\vert}{2}$. Saskaņā ar funkcijas $ \vert f\vert$ robežas $ \vert A\vert$ definīciju izvēlētajai punkta $ \vert A\vert$ apkārtnei eksistē punkta $ x=a$ tāda apkārtne $ \overset{\circ}{U}(a)$, ka visiem $ x\in\overset{\circ}{U}(a)$, izpildīsies nevienādība

$\displaystyle 0<\vert A\vert-\varepsilon<\bigl\vert f(x)\bigr\vert<\vert A\vert+\varepsilon\/.$

Šajā apkārtnē $ \bigl\vert f(x)\bigr\vert\neq 0$ un funkcija $ \frac{1}{f}$ būs definēta visos funkcijas $ f$ definīcijas apgabala punktos. No šīs nevienādības iegūsim

$\displaystyle \frac{1}{\vert A\vert+\varepsilon}<\left\vert\frac{1}{f(x)}\right\vert<\frac{1}{\vert A\vert-\varepsilon}\/.$

Šī nevienādība norāda, ka funkcija $ \frac{1}{f}$ - ierobežota punkta $ x=a$ apkārtnē. Funkciju $ \frac{1}{f}$ uzrakstīsim šādi

$\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{A}-\frac{1}{A}\cdot\frac{1}{f}(f-A)\/.$

Analoģiski kā 3.12. teorēmas pierādījumā iegūsim:

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{A}\/.\;\;\blacktriangleleft$

Piemēram,

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin x}=1,\;$jo$\displaystyle \;
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\;$un$\displaystyle \;
\frac{x}{\sin x}=\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}\/.$

3.14. teorēma. 
Ja eksistē galīgas robežas $ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A_1$ un
$ \lim\limits_{x\rightarrow
a}g(x)=A_2$, pie tam $ A_2\neq 0$, tad eksistē galīga robeža funkcijai $ \frac{f}{g}$, pie tam

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_1}{A_2}\/.$

(Pierādīt patstāvīgi, izmantojot 3.13. un 3.12. teorēmas, pie tam
$ \frac{f}{g}=f\frac{1}{g}$).

Ja $ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow
a}g(x)=0$, tad par šo funkciju attiecības robežu vēl neko nevar pateikt. Tā ir viena no nenoteiktībām $ \frac{0}{0}$, kas ir jāpēta īpaši.


nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.6. Teorēma par saliktas funkcijas robežu Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.4. Sinusa attiecības pret argumentu robeža

2003-02-24