Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.9. Jautājumi Augstāk: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 1.7. Elementāro pamatfunkciju atvasinājumi

1.8. Funkcijas augstāku kārtu atvasinājumi un diferenciāļi

Pieņemsim, ka kopā $D_{1}$ funkcijai $f$ eksistē atvasinājums $f'$, kuru turpmāk sauksim arī par pirmās kārtas atvasinājumu. Tas savukārt ir $x$ funkcija, tāpēc tam var eksistēt atvasinājums, kuru sauksim par dotās funkcijas $f$ otrās kārtas atvasinājumu. Otrās kārtas atvasinājumu apzīmē ar vienu no simboliem $f''$ vai $\frac{d^{2}f}{dx^{2}}$ (attiecīgi lasa: "ef divi prim", "de divi ef pēc de iks kvadrātā").

Analogi definē funkcijas trešās, ceturtās utt. kārtu atvasinājumus, kurus attiecīgi apzīmē:

$$f'''$$$$\quad\text {vai}\quad \frac{d^{3}f}{dx^{3}}\/;\qquad f^{IV},\quad f^{(4)}\quad \text{vai}\quad \frac{d^{4}f}{dx^{4}};\quad \text{utt.}$$

Vispār, par funkcijas $\mathbf{n}$-tās kārtas atvasinājumu sauc atvasinājumu no šīs funkcijas $(n-1)$-ās kārtas atvasinājuma. Tādējādi

$$f^{(n)}=\left(f^{(n-1)}\right)'$$

jeb

$$\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\frac{d}{dx}\left(\frac{d^{n-1}f}{dx^{n-1}}\right)\/.$$

1.9. definīcija. Atvasinājumus, kuru kārta ir lielāka par pirmo, sauc par augstāku kārtu atvasinājumiem.

1.13. piemērs. 

Noteikt funkcijas $f(x)=x^{4}-6x+5$ piektās kārtas atvasinājumu.

$$f'(x) =(x^{4}-6x+5)'=4x^{3}-6\/;$$

$$f''(x) =(4x^{3}-6)'=12x^{2}\/;$$

$$f'''(x) =(12x^{2})'=24x\/;$$

$$f^{IV}(x) =(24x)'=24\/;$$

$$f^{V}(x) =(24)'=0\/.$$

1.14. piemērs. 

Noteikt funkcijas $f(x)=\sin x$ $n$-tās kārtas atvasinājumu.

$$f'(x) =\cos x=\sin(\frac{\pi}{2}+x)\/;$$

$$f''(x) =-\sin x=\sin(2\cdot\frac{\pi}{2}+x)\/;$$

$$f'''(x) =-\cos x=\sin(3\cdot\frac{\pi}{2}+x)\/;$$

$$f^{IV}(x) =\sin x=\sin(4\cdot\frac{\pi}{2}+x)\/;$$

$$\cdots$$

$$f^{(n)}(x) =\sin(n\cdot\frac{\pi}{2}+x)\/;$$

Noskaidrosim funkcijas otrās kārtas atvasinājuma mehānisko interpretāciju. Ja $x=x(t)$ ir materiālā punkta taisnvirziena kustības likums, tad $\;x'(t)=v(t)\;$ ir punkta momentānais ātrums. Acīmredzot $\;\Delta v=v(t+\Delta t)-v(t)\;$ ir momentānā ātruma pieaugums laika intervālā $\Delta t$. Attiecību $\frac{\Delta v}{\Delta t}=a_{vid.}$ sauc par materiālā punkta vidējo paātrinājumu intervālā $\Delta t$.

1.10. definīcija. Par materiālā punkta paātrinājumu $a$ laika momentā $t$ sauc vidējā paātrinājuma robežu, kad $\Delta t\rightarrow 0$, t.i.,

$$a=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}a_{vid.}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=v'(t)\/.$$

Tādējādi otrās kārtas atvasinājuma mehāniskā interpretācija ir taisnvirziena kustībā esoša materiālā punkta momentānais paātrinājums.

1.15. piemērs. 

Noteikt materiālā punkta ātrumu un paātrinājumu laika momentā $t_0=2$, ja kustības likums ir $x(t)=\frac{1}{3}t^{3}-2t$.

Momentānais ātrums $v(t)$ laika momentā $t$:

$$v(t)=x'(t)=\frac{1}{3}\cdot 3t^{2}-2=t^{2}-2\/.$$

Laika momentā $t_0=2:\quad v=v(2)=2^{2}-2=2$.

Momentānais paātrinājums $a(t)$ laika momentā $t$:

$$a(t)=x''(t)=v'(t)=(t^{2}-2)'=2t\/.$$

Laika momentā $t_0=2\quad a=a(2)=2\cdot 2=4$.

Pieņemsim, ka $f$ ir kopā $D_1$ diferencējama funkcija un $df(x)=f'(x)dx$ ir tās diferenciālis, kuru turpmāk sauksim par pirmās kārtas diferenciāli.

Pirmās kārtas diferenciālis ir atkarīgs gan no $x$, gan no $dx$. Ja $dx$ uzskata par nemainīgu, tad var teikt, ka pirmās kārtas diferenciālis ir kopā $D_1$ definēta $x$ funkcija. Tāpēc tam var eksistēt diferenciālis, kuru sauksim par dotās funkcijas $f$ otrās kārtas diferenciāli. Otrās kārtas diferenciāli apzīmē ar $d^{2}f$. Tādējādi $d^{2}f=d(df)$.

Vispār, par funkcijas $\mathbf{n}$-tās kārtas diferenciāli sauc diferenciāli no šīs funkcijas $(n-1)$-ās kārtas diferenciāļa. Tādējādi $d^{n}f=d(d^{n-1}f)$.

1.11. definīcija. Diferenciāļus, kuru kārta ir lielāka par pirmo, sauc par augstāku kārtu diferenciāļiem.

Ja $x$ ir neatkarīgais mainīgais un funkcijai $f$ eksistē $n$-tās kārtas atvasinājums, tad, ievērojot, ka $dx=const$, iegūsim šādas formulas:

$$df(x) =f'(x)dx\/;$$

$$\smallskip d^2f(x) =d(df(x))=d(f'(x)dx)=(f'(x)dx)'dx=f''(x)dx^2\/;$$

$$d^3f(x) =d(d^2f(x))=d(f''(x)dx^{2})=(f''(x)dx^{2})'dx=f'''(x)dx^3\/;$$

$$\cdots$$

$$d^nf(x) =d(d^{n-1}f(x))=d(f^{(n-1)}(x)dx^{n-1})=(f^{(n-1)}(x)dx^{n-1})'dx=$$

$$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=f^{(n)}(x)dx^n\/,$$

kur $dx^{n}=(dx)^{n}$.

Izmantojot iegūtās formulas, rodas iespēja augstāku kārtu atvasinājumus uzrakstīt kā diferenciāļu attiecības:

$$f''(x)=\frac{d^2f(x)}{dx^2}\/,\quad f'''(x)=\frac{d^3f(x)}{dx^3}\/,\quad\cdots\;, \quad f^{(n)}(x)=\frac{d^nf(x)}{dx^n}\/.$$

Ja $x$ nav neatkarīgais mainīgais, tad saskaņā ar diferenciāļa formas invarianci formula $df(x)=f'(x)dx$ paliek spēkā. Atrodot otrās kārtas diferenciāli, $dx$ vairs nevar uzskatīt par konstantu un ir jāizmanto reizinājuma diferenciāļa formula. Šoreiz

$$d^2f(x)=d(f'(x)dx)=d(f'(x))dx+f'(x)d(dx)=f''(x)dx^2+f'(x)d^2x\/.$$

Analogi var atrast arī pārējos diferenciāļus.

1.10. piezīme. 

Augstāko kārtu diferenciāļiem vairs nepiemīt to formas invariance.

1.16. piemērs. 

Noteikt funkcijas $f(x)=x^2\ln x$ trešās kārtas diferenciāli un izskaitļot to punktā $x_0=1$.

Izmantosim formulu $d^3f(x)=f'''(x)dx^3$.

Atradīsim

$$f'(x) =(x^2\ln x)'=2x\ln x+x^2\frac{1}{x}=2x\ln x+x\/;$$

$$f''(x) =(2x\ln x+x)'=2\ln x+2x\frac{1}{x}+1=2\ln x+3\/;$$

$$f'''(x) =(2\ln x+3)'=2\frac{1}{x}=\frac{2}{x}\/.$$

Tādējādi $d^3f(x)=\frac{2}{x}dx^3$ un $d^3f(1)=2dx^3$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.9. Jautājumi Augstāk: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 1.7. Elementāro pamatfunkciju atvasinājumi